Gâteaux 导数与 Fréchet 导数的简介
这篇文章首先给出 Gâteaux 导数 与 Fréchet 导数的定义和符号，然后提供三个简单算例：（1）一维空间中的导数（2）二维空间的方向导数，并给出 Fréchet 导数的图像解释（3）无穷维空间中泛函的变分。
Gâteaux 导数 与 Fréchet 导数的定义
Gâteaux 导数的定义为 \[ D_{g} F( y;\eta ) \triangleq \lim_{\epsilon\to0} \frac{F( y+\epsilon \eta ) - F( y)}{\epsilon} = \left.\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \epsilon} F( y+\epsilon \eta )\right|_{\epsilon=0}. \] 由定义式可看到，如果将给定点处函数 \(F\) 的 Gâteaux 导数看作是关于 \(\eta\) 的新函数，那么 \(D_{g}F\) 与 \(F\) 属于同一个函数空间。当涉及到定义在无穷维函数空间中的泛函时，需要严格界定泛函定义域所属的函数空间，以及测试函数 \(\eta\) 所在的函数空间。此外，根据定义式，Gâteaux 导数是关于函数 \(\eta\) 的一阶齐次函数，也即
\[ D_{g}F(y;\alpha \eta) = \alpha D_{g}F(y;\eta), \quad \forall \alpha \in \mathbb{R}. \] 继续推广 Gâteaux 导数的定义到高阶情景，有 \[ D_{g}^{n} F( y;\eta ) = \left.\frac{\mathrm{d}^n }{\mathrm{d} \epsilon^n} F( y+\epsilon \eta )\right|_{\epsilon=0}. \]
Fréchet 导数是在点 \(y\) 处寻找一个有界线性映射 \(D_{F}: X\mapsto Y\)，其中 \(X\) 是被求导函数定义域所属的空间，\(Y\) 是被求导函数值域所属的空间。若关于点 \(y\)，对任意的 \(h\in X\)，存在有界线性映射 \(D_{F}(y)\)，使得 \[ \lim_{\|h\|\to 0} \frac{ \| F(y+h) - F(y) -D_{F}(y)\cdot h \| }{\|h\|} = 0, \] 那么函数在该点处 Fréchet 可微。
一些算例
以下给出的一些算例，是在 Gâteaux 导数存在的假设下按照定义计算得到的。
- 一维 函数
\[ y(t) = t^2, \]
关于 \(\mathrm{d}t\) 的 Gâteaux 导数为 \[ D_{g} y(t;\,\mathrm{d} t) = \lim_{\epsilon\to 0} \frac{(t+\epsilon \,\mathrm{d} t)^2 - t^2}{\epsilon} = 2t\,\mathrm{d} t. \] 同时，常数 \(2t\) 自然地定义了点 \(t\) 处的有界线性映射，因此也是该函数的 Fréchet 导数。
- 二维 函数
\[ y(t, s) = \begin{cases} \dfrac{t^2 s}{t^4 + s^2}, & \text{if } (t, s) \ne (0, 0), \\ 0, & \text{if } (t, s) = (0, 0). \end{cases} \]
在点 \((0,0)\) 处，对方向 \(\boldsymbol{n}=(n_1,n_2)\) 的 Gâteaux 导数为 \[ D_{g} y(0; \boldsymbol{n}) = \lim_{\epsilon\to0} \frac{n_1^2 n_2}{\epsilon^2 n_1^4 + n_2^2} = \begin{cases} n_1^2/n_2, & \text{if } n_2 \neq 0, \\ 0, & \text{else}. \end{cases} \]
虽然该函数在 \((0,0)\) 处方向导数处处存在，但是不存在 Fréchet 导数。假如存在 Fréchet 导数，那么二维空间中的有界线性映射总可以表示为一个二维向量，可以通过两条不同的参数曲线确定；选取方向 \(\boldsymbol{n}=(1,0)\) 和 \((0,1)\)，就可以确定与有界线性映射等价的向量为 \((0,0)\)，对应图中 \(z=0\) 平面。但如果选取参数曲线（图中蓝色曲线） \(x=t\)，\(y=t\)，在点 \((0,0)\) 处并不与平面 \(z=0\) 相切。
- （来自李少凡 Introduction to Micromechanics and Nanomechanics）定义如下泛函
\[ \Pi(y) = \int_{0}^{1} p(t) y'^2 + q(t) y^2 + 2f(t)y \,\mathrm{d} t, \]
泛函 \(\Pi( y+\epsilon \eta )\) 可以写作 \[ \begin{aligned} \Pi( y+\epsilon \eta ) &= \int_{0}^{1} p(t) (y' + \epsilon\eta')^2 + q(t) (y+\epsilon\eta)^2 + 2f(t)(y+\epsilon\eta) \,\mathrm{d} t \\ &= \left\{ \int_{0}^{1} py'^2+qy^2+2fy \,\mathrm{d} t \right\} + 2\epsilon \left\{ \int_{0}^{1} py'\eta'+qy\eta+f\eta \,\mathrm{d} t \right\} + \epsilon^2 \left\{ \int_{0}^{1} p\eta'^2+q\eta^2 \,\mathrm{d} t \right\}, \end{aligned} \] 所以 Gâteaux 导数等于 \[ D_{g} \Pi( y;\eta ) = 2\int_{0}^{1} \left( py'\eta'+qy\eta+f\eta \right) \,\mathrm{d} t. \] 而如果泛函定义在 \(H^1(0,1)\) 空间中，\(p\)，\(q\) 充分光滑，那么该泛函也存在 Fréchet 导数，并恰好等于 Gâteaux 导数。注意该泛函的 Gâteaux 导数是关于 \(\eta\) 的有界线性泛函。