使用物质坐标描述的守恒方程

空间坐标下的守恒方程可通过输运定理获得，而对于物质坐标下的守恒方程，通过积分参数变换的方式获得。因此在本文中，首先陈述微元在不同参数表示下的变换关系，然后再根据空间坐标下的守恒方程，通过参数变换，得到物质坐标下的守恒方程。

微元的参数变换关系

以下分别给出线微元、体微元和面微元的参数变换关系。线微元可通过变形梯度得到 \[ \boxed{ \mathrm{d} x = F \cdot \mathrm{d} X, \quad \mathrm{or} \quad \mathrm{d} X = F^{-1} \cdot ~\mathrm{d}X } \tag{1} \]

线微元建立起参数 \(X \leftrightarrow x\) 邻域的仿射变换关系 \(F\)。对于仿射变换，体微元通过 \(F\) 的行列式相关联，定义 \(J \triangleq \det F\)，那么 \[ \boxed{ \mathrm{d} v = J \mathrm{d} V, \quad \mathrm{or} \quad \mathrm{d} V = \frac{1}{J} ~\mathrm{d} v } \tag{2} \]

而参考构型和当前构型中的面微元分别定义为 \[ \mathrm{d} A \triangleq N ~\mathrm{d} \Sigma, \quad \mathrm{d} a \triangleq n ~\mathrm{d} \sigma \] 式中，\(N\) 和 \(n\) 表示面微元的法向方向，\(\mathrm{d} \Sigma\) 和 \(\mathrm{d} \sigma\) 表示面微元面积大小。考虑参考构型中的两段线微元\(~\mathrm{d} X^1\) 和\(~\mathrm{d}X^2\)，作为面微元的两条边，因此，参考构型中的面微元可以表示为 \[ \mathrm{d} A = \mathrm{d} X^1 \times ~\mathrm{d} X^2 \] 变形后，面微元 \(\mathrm{d} A\) 变形为 \(\mathrm{d} a\)，组成 \(\mathrm{d} a\) 的两边分别为 \(\mathrm{d} x^1\) 和 \(\mathrm{d} x^2\)： \[ \mathrm{d} a = \mathrm{d}x^1 \times \mathrm{d}x^2 = (F ~\mathrm{d}X^1) \times (F ~\mathrm{d}X^2) \]

写成分量形式，就得到 \[ n_i \mathrm{d} \sigma = e_{ijk} F_{jJ} \mathrm{d}X_{J}^1 F_{kK} \mathrm{d}X_{K}^2 \] 上式两端同乘 \(F_{iI}\)，同时应用 \(e_{ijk}F_{iI}F_{jJ}F_{kK} = e_{IJK} \det F\)，得到 \[ n_i F_{iI} \mathrm{d} \sigma = \det F ~e_{IJK} \mathrm{d}X_{J}^1 \mathrm{d}X_{K}^2 \] 因此 \[ \boxed{ \mathrm{d}A = \frac{1}{J} F^{\top} \cdot \mathrm{d}a, \quad \mathrm{or} \quad \mathrm{d}a = J F^{-\top} \cdot \mathrm{d}A } \tag{3} \]

Remark

需要指出，平面的法向 \(N\) 在变形后为 \[ \tilde{n} = F \cdot N \] 一般不等于和不平行于 \(n\)。若 \(\tilde{n} \parallel n\)，那么 \[ F \cdot N = \mu F^{-\top} \cdot N \Rightarrow F^{\top} \cdot F \cdot N = \mu N \] 也即 \(N\) 是右 Cauchy-Green 张量的特征向量。

函数记号说明

函数 \(f\) 定义在 \(E_3 \times (0,T)\) 上，其中 \(E_3\) 为 Euclidean 点空间。函数 \(f\) 可以表示为空间坐标形式和物质坐标形式： \[ f = \hat{f}(X,t), \quad \mathrm{or} \quad f = \breve{f}(x,t) \tag{4} \] 空间坐标 \(x\) 和物质坐标 \(X\) 之间通过一一映射 \(\varphi\) 关联 \[ x = \varphi(X,t), \quad X = \varphi^{-1}(x,t) \] 因此式 (4) 中不同坐标形式的函数可以互相表示, \[ \hat{f} = \breve{f}(\varphi(X,t), t), \quad \breve{f} = \hat{f}(\varphi^{-1}(x,t), t) \] 函数 \(f\) 的空间变量类型一般可以通过积分微元等语境中推断得到，为了记号的清晰，使用 \(f\) 指代 \(\hat{f}\) 或 \(\breve{f}\) 中的一种。用下标 \(\square_{\tau}\) 表示在时刻 \(\tau\) 构型的变量。 当 \(\tau=0\) 时，对应构型为参考构型，此时的变量默认用物质坐标描述。例如，\(B_0\) 表示材料在参考构型下占据的空间区域，\(\rho_0\) 表示 \(t=0\) 时刻材料的密度，\(\rho_0(X) = \hat{\rho}(X,0)\)。如果省略下标，那么默认为时刻 \(t\) 当前构型下的变量。

质量守恒定律

考虑参考构型中的区域 \(B_0\)，该区域的质量为 \[ M = \int_{B_0} \rho_0 ~\mathrm{d} X \] 经变形后，区域为 \(B\)，其中的质量为 \[ m = \int_{B} \rho ~\mathrm{d}x \] 作积分变换，得到 \[ m = \int_{B_0} \rho J~\mathrm{d}X \] 根据质量守恒有 \[ M \equiv m \Rightarrow \int_{B_0} \rho_0 - J\rho ~\mathrm{d} X \equiv 0 \] 上式对任何区域 \(B_0\) 成立，所以 \[ \boxed{ \rho_0 - J \rho = 0 } \tag{4} \]

动量守恒定律

空间坐标下的动量守恒定律为 \[ \sigma \cdot \nabla + \rho b = \rho a \] 为了表示成物质坐标的形式，首先将上式还原为积分形式 \[ \int_{B} \sigma \cdot \nabla + \rho b - \rho a ~\mathrm{d}x = 0 \tag{5} \] 作变量替换，上式中第二项和第三项为 \[ \int_{B} \rho b - \rho a ~\mathrm{d}x = \int_{B_0} (\rho b - \rho a)J\mathrm{d}X \] 应力散度项先通过散度定理转化到边界 \(\partial B\) 上的积分 \[ \int_{B} \sigma \cdot \nabla ~\mathrm{d}x = \int_{\partial B} \sigma \cdot n ~\mathrm{d}\sigma \] 再根据面微元的变换公式 (3)，得到 \[ \int_{\partial B} \sigma \cdot n ~\mathrm{d}\sigma = \int_{\partial B_0} J \sigma \cdot F^{-\top} \cdot N ~\mathrm{d}\Sigma \] 定义第一类 P-K 应力为 \[ P \triangleq J \sigma \cdot F^{-\top} \Rightarrow \sigma = \frac{1}{J} P \cdot F^{\top} \] 代入式 (5) 中得到 \[ \int_{\partial B_0} P \cdot N ~\mathrm{d}\Sigma + \int_{B_0} (\rho b - \rho a)J\mathrm{d}X = 0 \] 在 \(B_0\) 上应用散度定理，以及 \(B_0\) 的任意性，就得到物质坐标表示的动量守恒定律： \[ \boxed{ P \cdot \nabla_0 + \rho b - \rho a = 0 } \tag{6} \]

角动量守恒定律

根据公式 \[ \int_{B} e_{ijk} \sigma_{jk} ~\mathrm{d}x = 0 \] 做参数变换，得到 \[ \int_{B_0} e_{ijk} P_{jJ} F_{kJ} ~\mathrm{d}X = 0 \] 最终得到 \[ P \cdot F^{\top} = F \cdot P^{\top} \]