力学中常用的能量原理

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这篇文档整理了力学中常用的能量原理在三维空间小变形问题背景下的一般性表述，包含（1）容许空间的概念（2）虚功（虚位移/虚应力）原理，以及限制在弹性问题背景下的（3）最小势能和最小余能原理（4）Clapeyron 定理，和（5）Betti 互易定理。为使得这篇文档不会变得过分冗长，作者默认读者熟悉基本的变分概念和变分的计算方法，只给出能量原理的推导过程，没有给出具体的应用实例。

参考文献

  • Reddy, J N. Energy Principles and Variational Methods in Applied Mechanics.
  • Dvorak, George. Micromechanics of Composite Materials.

容许空间

首先，这些原理的问题背景是区域 \(\Omega\) 上的边值问题（boundary value problem, BVP）。其边界条件为力边界和位移边界的组合，\(\partial \Omega = \partial\Omega_{t} \cup \partial\Omega_{u}\)，位移边界条件为 \(\boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_0\)，力边界条件为 \(\boldsymbol{t}=\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{n}\)。区域内满足平衡方程和边界条件： \[ \boldsymbol{\sigma} \cdot \nabla + \boldsymbol{f} = \boldsymbol{0},\quad \boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{n}=\boldsymbol{t}_{0} \text{ at } \partial_{t}\Omega, \quad \boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{0} \text{ at } \partial_{u}\Omega. \] 应变场满足协调方程： \[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2} ( \boldsymbol{u}\nabla + \nabla\boldsymbol{u} )\triangleq\nabla_{s}\boldsymbol{u}. \] 应力和应变之间由本构方程关联。在上述问题背景下，一些常见于原理的概念列举如下：

  • 运动学允许的位移（kinematically admissible strain）：应变场 \(\boldsymbol{u}\) 满足 协调方程 和 位移边界条件。所有满足这些条件的应变场构成的集合为 \(\mathcal{E}_{a}\)。一个合法的应变场扰动由位移场的扰动给出，\(\delta\boldsymbol{\varepsilon}=\nabla_{s}\delta\boldsymbol{u}\)。位移场扰动\(\delta\boldsymbol{u}\) 所在的空间为 \[ \mathcal{U}_{0}^{a} = \{ \delta\boldsymbol{u} \mid \delta\boldsymbol{u}=\boldsymbol{0} \text{ at } \partial_{u}\Omega \}. \]

  • 静力学允许的应力（statically admissible stress）：应力场 \(\boldsymbol{\sigma}\) 满足 平衡方程 和 力边界条件。所有满足这些条件的应力场构成的集合为 \(\mathcal{S}^{a}\)。对应的，一个合法的应力场扰动 \(\delta \boldsymbol{\sigma}\) 所在的空间为 \[ \mathcal{S}_{0}^{a} = \{ \delta\boldsymbol{\sigma} \mid \delta\boldsymbol{\sigma} \cdot \nabla=\boldsymbol{0}; \quad \delta\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{n}=\boldsymbol{0} \text{ at } \partial_{t}\Omega \}. \]

  • 位移场和应力场一般还要满足连续性要求，\(\boldsymbol{u} \in H^{1}\) 和 \(\boldsymbol{\sigma}\)，\(\boldsymbol{\varepsilon}\in L^2\)。

虚功原理

虚功原理形式上是外力虚功等于内力虚功： \[ \begin{equation} \delta W = \delta W_{I} + \delta W_{E} = 0, \label{eq:vw} \end{equation} \] 然而，外力虚功或内力虚功可以有两种表达形式：一种以虚位移表示： \[ \delta W_{I} = \int_{\Omega} \delta\boldsymbol{\varepsilon}:\boldsymbol{\sigma} \,\mathrm{d}V, \quad \delta W_{E} = - \int_{\Omega} \delta\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{f} \,\mathrm{d}V - \int_{\partial \Omega_{t}} \delta\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{t}_{0} \,\mathrm{d}\Gamma. \] 另一种使用与虚位移对偶的虚力（virtual force）表示： \[ \delta W_{I}^{c} = \int_{\Omega} \boldsymbol{\varepsilon}:\delta\boldsymbol{\sigma} \,\mathrm{d}V, \quad \delta W_{E}^{c} = - \int_{\partial \Omega_{u}} \boldsymbol{u}_{0} \cdot \delta\boldsymbol{t} \,\mathrm{d}\Gamma. \] 在第一种表示下，应用分部积分，就得到 \[ \begin{aligned} 0 &= \int_{\Omega} \delta\boldsymbol{\varepsilon}:\boldsymbol{\sigma} \,\mathrm{d}V - \int_{\Omega} \delta\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{f} \,\mathrm{d}V - \int_{\partial \Omega_{t}} \delta\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{t}_{0} \,\mathrm{d}\Gamma \\ &= -\int_{\Omega} \delta\boldsymbol{u}\cdot\left( \boldsymbol{\sigma}\cdot\nabla+\boldsymbol{f} \right)\,\mathrm{d}V + \int_{\partial_{t}\Omega} \delta\boldsymbol{u} \cdot ( \boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{n}-\boldsymbol{t}_{0} ) \,\mathrm{d}\Gamma. \end{aligned} \] 上式对任意虚位移 \(\delta\boldsymbol{u}\in\mathcal{U}_{0}^{a}\) 成立的充分必要条件是应力场满足平衡方程和力边界条件： \[ \begin{equation} \delta W=0, \quad \forall \delta\boldsymbol{u}\in \mathcal{S}_{0}^{a} \iff \boldsymbol{\sigma} \in \mathcal{S}^{a}. \label{eq:virtual_disp} \end{equation} \] 类似的，对第二种表述使用分部积分得到 \[ \begin{aligned} 0 &= \int_{\Omega} \boldsymbol{\varepsilon}:\delta\boldsymbol{\sigma} \,\mathrm{d}V - \int_{\partial \Omega_{u}} \boldsymbol{u}_{0}\cdot \delta\boldsymbol{t} \,\mathrm{d}\Gamma = \int_{\Omega} \boldsymbol{\varepsilon}:\delta\boldsymbol{\sigma} \,\mathrm{d}V + \int_{\Omega} \boldsymbol{u}\cdot \underbrace{(\delta\boldsymbol{\sigma}\cdot\nabla)}_{=\boldsymbol{0}} \,\mathrm{d}V - \int_{\partial \Omega_{u}} \boldsymbol{u}_{0} \cdot \delta\boldsymbol{t} \,\mathrm{d}\Gamma \\ &= \int_{\Omega} (\boldsymbol{\varepsilon}-\nabla_{s}\boldsymbol{u}):\delta\boldsymbol{\sigma} \,\mathrm{d}V + \int_{\partial \Omega_{u}} ( \boldsymbol{u}-\boldsymbol{u}_{0}) \cdot \delta\boldsymbol{t} \,\mathrm{d}\Gamma \end{aligned} \] 因此，上式对任意虚应力 \(\delta\boldsymbol{\sigma}\in \mathcal{S}_{0}^{a}\) 成立的充分必要条件是应变场满足协调方程和边界条件： \[ \begin{equation} \delta W^{c} = 0, \quad \forall \delta\boldsymbol{\sigma}\in \mathcal{S}_{0}^{a} \iff \boldsymbol{\varepsilon} \in \mathcal{E}^{a}. \label{eq:virtual_force} \end{equation} \]

Remark

  1. 虚功原理只要求应变或应力场在容许空间中，不要求通过某一具体的本构与虚应力或虚应变关联。因此，虚功原理也适用于非弹性问题。
  2. 外力功是外力对系统做的功，在做功中一般会随位移发生变化（例如外力拉动弹簧，\(F(u) = ku\)）。外力势能总假设外力不变（dead load），所以可以写成势能的形式。对于初始无应力的弹性问题，外力势能等于两倍的外力功（ Clapeyron 原理）。

最小势能原理与最小余能原理

无论是最小势能原理，或是最小余能原理，都可以看作是虚功原理的特例：应力应变之间通过势能函数关联。因此，最小势能或余能原理将材料限定在超弹类型上。在引入势能函数之后，可以定义关于位移场或应力场的泛函，使得该泛函的一阶变分恰好等于总虚功表达式 \(\eqref{eq:vw}\)。与虚功原理的表述类似，弹性体内的势能一方面可表示为关于应变的应变能： \[ \mathcal{U}(\boldsymbol{\varepsilon}) = \int_{\Omega} \psi(\boldsymbol{\varepsilon}) \,\mathrm{d}V,\quad \psi(\boldsymbol{\varepsilon}) \triangleq \int_{0}^{\boldsymbol{\varepsilon}} \boldsymbol{\sigma}:\mathrm{d}\boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2} \boldsymbol{\varepsilon}:\mathbb{L}:\boldsymbol{\varepsilon}, \] 或者表示为关于应力的余能： \[ \mathcal{U}^{c}(\boldsymbol{\varepsilon}) = \int_{\Omega} \psi^{c}(\boldsymbol{\varepsilon}) \,\mathrm{d}V,\quad \psi^{c}(\boldsymbol{\varepsilon}) \triangleq \int_{0}^{\boldsymbol{\sigma}} \boldsymbol{\varepsilon}:\mathrm{d}\boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{2} \boldsymbol{\sigma}:\mathbb{M}:\boldsymbol{\sigma}. \] 两种类型的势能通过 Legendre 变换关联： \[ \psi(\boldsymbol{\varepsilon}) + \psi^{c}(\boldsymbol{\sigma}) = \boldsymbol{\sigma}:\boldsymbol{\varepsilon}. \] 弹性体的总势能定义为应变能和外力势能之和： \[ \begin{equation} \Pi(\boldsymbol{u}) \triangleq \underbrace{\frac{1}{2}\int_{\Omega} \boldsymbol{\varepsilon}:\mathbb{L}:\boldsymbol{\varepsilon} \,\mathrm{d}V}_{\mathcal{U}} \quad \underbrace{- \int_{\Omega} \boldsymbol{f}\cdot\boldsymbol{u} \,\mathrm{d}V - \int_{\partial\Omega} \boldsymbol{t}\cdot\boldsymbol{u}\,\mathrm{d}\Gamma}_{\mathcal{V}}, \label{eq:total_potential} \end{equation} \]

并定义在运动学允许的位移所组成的空间 \(\mathcal{U}^{a}\) 当中。可以验证，总势能泛函的一阶变分等于虚功表达式 \(\eqref{eq:vw}\)： \[ \delta\Pi=\delta W. \] 对应的，弹性体的总余能定义为余能与外力势能之和： \[ \begin{equation} \Pi^{c}(\boldsymbol{\sigma}) \triangleq \underbrace{\frac{1}{2}\int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma}:\mathbb{M}:\boldsymbol{\sigma} \,\mathrm{d}V}_{\mathcal{U}^c} \quad \underbrace{- \int_{\Omega} \boldsymbol{f}\cdot\boldsymbol{u} \,\mathrm{d}V - \int_{\partial\Omega} \boldsymbol{t}\cdot\boldsymbol{u}\,\mathrm{d}\Gamma}_{\mathcal{V}}, \label{eq:total_c_potential} \end{equation} \] 对该势能的一阶变分同样与虚功表达式相同： \[ \delta\Pi^{c} = \delta W^{c}. \] 因此，虚功原理的陈述就等价于： \[ \begin{equation} \delta\Pi(\boldsymbol{u}^{*}) = 0 \iff \boldsymbol{\sigma}^{*}=\mathbb{L}:\boldsymbol{\varepsilon}^{*} \in \mathcal{S}^{a} \label{eq:min_potential}, \end{equation} \] 和 \[ \begin{equation} \delta\Pi^{c}(\boldsymbol{\sigma}^{*}) = 0 \iff \boldsymbol{\varepsilon}^{*}=\mathbb{M}:\boldsymbol{\sigma}^{*} \in \mathcal{E}^{a}. \label{eq:min_c_potential} \end{equation} \] 在一阶变分等于零的泛函取值之所以是最小的，是因为势能泛函是 quadratic form，并且弹性模量 \(\mathbb{L}\) 和柔度 \(\mathbb{M}\) 是正定的，所以二阶变分 \[ \delta^2\Pi(\boldsymbol{u}) = \frac{1}{2} \int_{\Omega} \delta\boldsymbol{\varepsilon}:\mathbb{L}:\delta\boldsymbol{\varepsilon} \,\mathrm{d}V >0, \quad \delta^2\Pi^{c}(\boldsymbol{\sigma}) = \frac{1}{2} \int_{\Omega} \delta\boldsymbol{\sigma}:\mathbb{M}:\delta\boldsymbol{\sigma} \,\mathrm{d}V >0. \]

Clapeyron 定理

当变形体处于平衡状态，并在变形过程中外力项（体力与边界上的外力）保持不变，那么作用在运动学允许的位移场上的外力势能等于两倍的应变能（或余能）。其数学表达式如下： \[ \int_{\Omega} \boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{f}\,\mathrm{d}V + \int_{\partial \Omega} \boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{t} \,\mathrm{d}\Gamma \left\{\begin{aligned} &= \int_{\Omega} \boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{f}\,\mathrm{d}V + \int_{\partial \Omega} \boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{n} \,\mathrm{d}\Gamma \\ &= \int_{\Omega} \boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{f}\,\mathrm{d}V + \int_{\Omega} (\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{\sigma})\cdot\nabla \,\mathrm{d}V \\ &= \int_{\Omega} \boldsymbol{u} \cdot ( \underbrace{\boldsymbol{\sigma}\cdot\nabla + \boldsymbol{f}}_{=\boldsymbol{0}} ) \,\mathrm{d}V + \int_{\Omega} \boldsymbol{\varepsilon} : \boldsymbol{\sigma} \,\mathrm{d}V \end{aligned}\right. = \int_{\Omega} \boldsymbol{\varepsilon} : \boldsymbol{\sigma} \,\mathrm{d}V. \]

Betti 互易定理

考虑两组位移，外力对 \((\boldsymbol{f}^{(1)}, \boldsymbol{u}^{(1)})\) 和 \((\boldsymbol{f}^{(2)},\boldsymbol{u}^{(2)})\)。位移与外力通过线弹性 BVP 关联。Betti 互易定理表述为：第一组中的外力作用在第二组位移场的外力功 \(W_{12}\)，等于第二组外力作用在第一组位移场的外力功 \(W_{21}\)，数学表达式为： \[ \begin{aligned} W_{12} &= \int_{\Omega} \boldsymbol{f}^{(1)} \cdot \boldsymbol{u}^{(2)} \,\mathrm{d}V + \int_{\partial\Omega} \boldsymbol{t}^{(1)} \cdot \boldsymbol{u}^{(2)} \,\mathrm{d}\Gamma \\ &= \int_{\Omega} \boldsymbol{f}^{(2)} \cdot \boldsymbol{u}^{(1)} \,\mathrm{d}V + \int_{\partial\Omega} \boldsymbol{t}^{(2)} \cdot \boldsymbol{u}^{(1)} \,\mathrm{d}\Gamma = W_{21}. \end{aligned} \] 证明的主要思路是通过分部积分和平衡方程将外力功转化为内力功： \[ \begin{aligned} W_{12} &= \int_{\Omega} \boldsymbol{f}^{(1)} \cdot \boldsymbol{u}^{(2)} \,\mathrm{d}V + \int_{\partial\Omega} \boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{\sigma}^{(1)} \cdot \boldsymbol{u}^{(2)} \,\mathrm{d}\Gamma = \int_{\Omega} \boldsymbol{f}^{(1)} \cdot \boldsymbol{u}^{(2)} \,\mathrm{d}V + \int_{\Omega} \nabla \cdot \left( \boldsymbol{\sigma}^{(1)} \cdot \boldsymbol{u}^{(2)} \right) \,\mathrm{d}V \\ &= \int_{\Omega} \underbrace{\left(\boldsymbol{f}^{(1)} + \boldsymbol{\sigma}^{(1)} \cdot\nabla \right)}_{\equiv0} \cdot \boldsymbol{u}^{(2)} \,\mathrm{d}V + \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma}^{(1)} : \boldsymbol{\varepsilon}^{(2)} \,\mathrm{d}V. \end{aligned} \]

这两组位移和外力虽然各不相同，但是都在同一个弹性系统上得到的，也即模量相同，因此有 \[ W_{12}= \int_{\Omega} \left( \boldsymbol{\varepsilon}^{(1)} : \mathbb{L} \right) : \boldsymbol{\varepsilon}^{(2)} \,\mathrm{d}V = \int_{\Omega} \boldsymbol{\varepsilon}^{(1)} : \left( \mathbb{L} : \boldsymbol{\varepsilon}^{(2)} \right) \,\mathrm{d}V = \int_{\Omega} \boldsymbol{\varepsilon}^{(1)} : \boldsymbol{\sigma}^{(2)} \,\mathrm{d}V = W_{21}. \]