Levin 公式的推导

发表于 2025-11-13 更新于 2026-06-24 分类于细观力学阅读次数：

考虑非均质的 RVE，包含任意多个夹杂相。RVE 体力项 \(\boldsymbol{f}=\boldsymbol{0}\)，边界条件为周期性边界条件。首先构造两组容许空间中的应力和应变场，分别为 \((\boldsymbol{\sigma}^{(1)}, \boldsymbol{\varepsilon}^{(1)})\) 和 \((\boldsymbol{\sigma}^{(2)}, \boldsymbol{\varepsilon}^{(2)})\)。第一组考虑温度均匀变化，由此在每一相上产生热应变： \[ \langle \boldsymbol{\sigma}^{(1)} \rangle=\boldsymbol{0}, \quad \langle \boldsymbol{\varepsilon}^{(1)} \rangle = \boldsymbol{m}^{c} \Delta\theta, \quad \boldsymbol{\varepsilon}^{(1)} = \mathbb{M}:\boldsymbol{\sigma}^{(1)} + \boldsymbol{m} \Delta \theta. \] 式中，\(\boldsymbol{m}\) 是材料的热膨胀二阶张量，在空间中可以非均匀分布；\(\boldsymbol{m}^{c}\) 是均匀化后得到的宏观热膨胀张量。第二组考虑在 RVE 上施加宏观应力 \(\boldsymbol{\sigma}_{0}\)，无温度变化，由此得到的单胞内应变与应力场的响应： \[ \langle \boldsymbol{\sigma}^{(2)} \rangle=\boldsymbol{\sigma}_{0}, \quad \langle \boldsymbol{\varepsilon} \rangle^{(2)} = \mathbb{M}^{c} : \boldsymbol{\sigma}_{0}, \quad \boldsymbol{\sigma}^{(2)} = \mathbb{F}:\boldsymbol{\sigma}_{0}, \quad \boldsymbol{\varepsilon}^{(2)} = \mathbb{M}:\mathbb{F}:\boldsymbol{\sigma}_{0}. \] 式中，四阶张量 \(\mathbb{F}\) 是应力影响函数，通过应力影响函数和宏观应力，可以还原细观尺度下的应力场。

在构造完满足平衡方程的应力场和满足相容条件的应变场之后，接下来将应用虚功原理，得到宏观热膨胀张量 \(\boldsymbol{m}^{c}\) 的表达式。注意到应变场 \(\boldsymbol{\varepsilon}^{(1)}\) 和 \(\boldsymbol{\varepsilon}^{(2)}\) 体积平均后不等于零，所以不能用做虚位移表示的虚功原理中应变场的扰动，因此使用由虚应力表示的虚功原理： \[ \begin{equation} \int_{\Omega} \delta\boldsymbol{\sigma} : \boldsymbol{\varepsilon} \,\mathrm{d}V - |\Omega| \langle \delta\boldsymbol{\sigma} \rangle: \langle \boldsymbol{\varepsilon} \rangle = 0, \label{eq:vs} \end{equation} \] 其中，虚应力要求满足平衡方程 \(\delta\boldsymbol{\sigma}\cdot\nabla=\boldsymbol{0}\)，以及周期性边界条件；应变场只需要满足相容条件即可。首先将 \(\boldsymbol{\sigma}^{(1)}\) 作为虚应力，\(\boldsymbol{\varepsilon}^{(2)}\) 作为试验函数，代入虚功原理 \(\eqref{eq:vs}\) 中得到： \[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma}^{(1)} : \mathbb{M} : \boldsymbol{\sigma}^{(2)} \,\mathrm{d}V = 0. \] 然后再将 \(\boldsymbol{\sigma}^{(2)}\) 和 \(\boldsymbol{\varepsilon}^{(1)}\) 代入得到 \[ |\Omega|\boldsymbol{\sigma}_{0} : \boldsymbol{m}^{c}\Delta\theta = \int_{\Omega} (\mathbb{F}:\boldsymbol{\sigma}_{0}) : \mathbb{M}:\boldsymbol{\sigma}^{(1)} \,\mathrm{d}V + \Delta\theta\int_{\Omega} (\mathbb{F}:\boldsymbol{\sigma}_{0}) : \boldsymbol{m} \,\mathrm{d}V. \] 因为 \(\boldsymbol{\sigma}^{(1)}\) 的体积平均等于零，所以上式等号右侧第一项积分等于零（这一结论同样来源于 \(\eqref{eq:vs}\)）。再根据 \(\boldsymbol{\sigma}_{0}\) 的任意性，就得到

\[ \boldsymbol{m}^c = \frac{1}{|\Omega|} \int_{\Omega} \boldsymbol{m}: \mathbb{F}\,\mathrm{d}V. \] 如果令 \(\boldsymbol{\mu} = \boldsymbol{m} \Delta \theta\)，\(\boldsymbol{\mu}\) 是本征应变，那么上式就可以写作 \[ \begin{equation} \boxed{\boldsymbol{\mu}^c = \frac{1}{|\Omega|} \int_{\Omega} \boldsymbol{\mu}: \mathbb{F}\,\mathrm{d}V.} \label{eq:levin} \end{equation} \] 进一步的，如果本征应变场分片常值分布，那么上式又可以写成求和的形式： \[ \begin{equation} \boxed{\boldsymbol{\mu}^c = \sum_{\alpha=1}^{N} c^{(\alpha)} \boldsymbol{\boldsymbol{\mu}}^{(\alpha)} : \mathbb{F}^{(\alpha)}.} \label{eq:levin_sum} \end{equation} \] 式中，\(c^{(\alpha)}\) 是体积分数，\(\boldsymbol{\mu}^{(\alpha)}\) 是区域 \(\Omega^{(\alpha)}\) 内常值分布的本征应变，\(\mathbb{F}^{(\alpha)}\) 是在区域 \(\Omega^{(\alpha)}\) 内对应力影响函数的体积平均。

Remark

宏观尺度的应力和应变等于细观尺度中应力和应变场的体积平均，因此符号 \(\boldsymbol{\sigma}^{c}\) 和 \(\langle \boldsymbol{\sigma} \rangle\)，\(\boldsymbol{\varepsilon}^{c}\) 和 \(\langle \boldsymbol{\varepsilon} \rangle\) 是可以不加区别地混用的；然而，宏观本征应变并不是本征应变场的体积平均，而是需要应力影响函数进行加权，如公式 \(\eqref{eq:levin}\) 和 \(\eqref{eq:levin_sum}\) 所示。

公式的推导过程只用到虚功原理，因此对于任意非弹性变形，在用本征应变进行表示之后，Levin 总是成立。