一些复积分中的定理和公式

这篇文档整理了一些复积分中的定理和公式，主要参考文献是 Gilbert Strang，Introduction to applied mathematics。

Cauchy 定理

首先计算一些简单的复积分例子热一下身：

例 1

函数 \(f(z) = z^2\) 在圆 \(\odot:z=Re^{i \theta}\) 上的积分为 \[ \int_{\odot} f(z) ~\mathrm{d}z = \int_{0}^{2\pi} R^2 e^{i2\theta} i R e^{i\theta} ~\mathrm{d}\theta = \frac{R^3}{3} \left. e^{i3\theta}\right|_{0}^{2\pi} = 0. \]

例 2

函数 \(f(z) = z^{1/2}\) 在圆 \(\odot:z=Re^{i \theta}\) 上的积分为 \[ \int_{\odot} f(z) ~\mathrm{d}z = \int_{0}^{2\pi} R^{1/2} e^{i\theta/2} i R e^{i\theta} ~\mathrm{d}\theta = \frac{R^{3/2}}{3/2} \left. e^{i3\theta/2}\right|_{0}^{2\pi} = -\frac{4}{3}R^{3/2}. \]

例 3

函数 \(f(z) = 1/z\) 在圆 \(\odot:z=Re^{i \theta}\) 上的积分为 \[ \int_{\odot} f(z) ~\mathrm{d}z = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{R e^{i\theta}} i R e^{i\theta} ~\mathrm{d}\theta = 2\pi i. \] 提供上述算例的目的是引出一般的解析函数在闭曲线上的积分定理，也即 Cauchy 定理：If \(f\) is analytic in a simply connected region containing the closed curve \(C\), then

\[ \begin{equation}\label{eq:cauchy} \int_C f(z) \mathrm{d}z = 0. \end{equation} \] 通过该定理，可以直接得到例 1 的结果，因为圆盘 \(S:x^2 + y^2 \leq R^2\) 包含曲线 \(C\)，并且函数 \(f(z)=z^2\) 在 \(S\) 上是解析的。例 2 和例 3 可作为 Cauchy 定理的补充说明:

• 简单连通区域 (simply connected region) 是没有孔洞的区域。例如，函数 \(f(z)=1/z\) 在区域 \(1/2 < |z| < 2\) 之间是解析的，并且该圆环区域包含圆 \(\odot\) ，但是，该区域不是简单连通的。包含圆 \(\odot\) 的区域必定包含点 \(z=0\)，而函数在 \(z=0\) 处不是解析的。之后会看到，正是在这一点的奇异性，使得 \(1/z\) 在曲线 \(C\) 上的积分不等于 0。
• 函数 \(f\) 也必须是单值的，否则式 (3) 的积分可能不等于 0。例 3 说明了这一点。

这一定理的证明需要用到解析函数最重要的性质：解析函数的实部与虚部 \(u\) 和 \(v\)​ 满足 Cauchy-Riemann 条件： \[ - \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}. \] 将复积分 \(\eqref{eq:cauchy}\) 分成实部与虚部两部分： \[ \int_C f(z) ~\mathrm{d}z = \int_C (u + iv)(\mathrm{d}x + i\mathrm{d}y) = \int_C u\mathrm{d}x - v\mathrm{d}y + i\int_C v\mathrm{d}x + u\mathrm{d}y. \] 第二类曲线积分可以通过 Stokes 公式转换到曲线内部区域上的积分： \[ \int_C f_1 ~\mathrm{d}x + f_2 ~\mathrm{d}y = \iint_{S} \mathrm{curl~}f ~\mathrm{d}x \mathrm{d}y, \quad \mathrm{curl~}f = \begin{vmatrix} \partial/\partial x & \partial/\partial y \\ f_1 & f_2 \end{vmatrix}, \] 所以 \[ \int_C u\mathrm{d}x - v\mathrm{d}y = \iint_{S} - \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} ~\mathrm{d}x\mathrm{d}y,\quad \int_C v\mathrm{d}x + u\mathrm{d}y = \iint_{S} \frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y} ~\mathrm{d}x\mathrm{d}y. \] 再根据 Cauchy-Riemann 条件，就得到了定理式 (3) 的结论。\(\blacksquare\) 需要补充说明的是，Cauchy 定理反过来并不成立，也即如果某一函数 \(f\) 对复平面任意环绕闭合曲线 \(C\) 的积分都等于 0，这也不能确定函数 \(f\) 在复平面上就是解析的，比如说函数 \(f(z) = 1/z^n\)，\(n>1\) 在圆 \(\odot:z=Re^{i \theta}\) 上的积分为

\[ \begin{equation}\label{eq:xx} \int_{\odot} f(z) ~\mathrm{d}z = i R^{1-n} \int_{0}^{2\pi} e^{i (1-n)\theta} ~\mathrm{d}\theta = 0. \end{equation} \] ## Cauchy 积分公式

现在知道，解析函数在闭合曲线上的积分结果等于 0。接下来考察一下，如果函数在闭合曲线 \(C\) 围成的区域 \(S\) 上个别点处不解析（这样的点称为奇点），那么沿闭合曲线积分会得到什么结果。从例 2 可以看到，在 \(z=0\) 处不解析的函数 \(f(z) = 1/z\)，沿圆 \(C\) 的积分等于 \(2\pi i\)，与半径 \(R\) 无关。所以可以合理地猜想，是否对任意的环绕 \(z=0\) 的闭合曲线 \(C\)，\(1/z\) 的积分结果都是一样的呢？有如下结论:

\[ \begin{equation}\label{eq:itg_cauchy} \int_C \frac{1}{z-a} ~\mathrm{d}z = 2\pi i, \quad \forall \text{~closed curve~} C \text{~around~} a. \end{equation} \] 定理的证明只需要看下面这一张图。设环绕圆 \(\odot\) 与曲线 \(C\) 的积分之差为 \[ I = \int_C \frac{1}{z-a} ~\mathrm{d}z - \int_{\odot} \frac{1}{z-a} ~\mathrm{d}z, \] 该积分可以看作是环绕图中阴影区域做的积分。因为阴影区域不包含奇点，所以根据 Cauchy 定理，积分等于 0： \[ I = \int_C \frac{1}{z-a} ~\mathrm{d}z - \int_{\odot} \frac{1}{z-a} ~\mathrm{d}z = 0. \ \blacksquare \]

同样也可以将例 \(\eqref{eq:xx}\) 的结果推广到任意环绕奇点的闭合曲线 \(C\) 上: \[ \int_C \frac{1}{(z-a)^n} ~\mathrm{d}z = 0, \quad \forall n>1. \] 式 \(\eqref{eq:itg_cauchy}\) 可以说是复积分中最重要的公式，可以将它进一步地推广：对任意在区域 \(S\) 上解析的函数 \(f(z)\)，\(f(z)/(z-a)\) 在 \(z=a\) 处奇异。但是可以构造函数 \(F(z)\)， \[ F(z) = \frac{f(z) - f(a)}{z-a}. \] 函数 \(F\) 在 \(z=a\) 处是解析的 (用专业的术语说，\(z=a\) 是函数 \(F(z)\) 的可去奇点)，因此在区域 \(S\) 中，包含奇点 \(z=a\) 的闭合曲线 \(C\) 上的积分等于 0， \[ \int_{C} F(z) ~\mathrm{d}z = 0 \quad \Rightarrow \quad \int_C \frac{f(z)}{z-a} ~\mathrm{d}z - 2\pi i f(a) = 0. \] 这样就得到了 Cauchy 积分公式：If \(a\) is any point inside the simple closed curve \(C\), and \(f\) is analytic inside and on \(C\), then

\[ \begin{equation}\label{eq:jifen} f(a) = \frac{1}{2\pi i} \int_C \frac{f(z)}{z-a} ~\mathrm{d}z \end{equation} \] 知道 \(f\) 在曲线 \(C\) 上的值，就等于知道 \(f\) 在曲线内部每一点处的值。对于解析函数而言，没有太多可自由发挥的空间。式 \(\eqref{eq:itg_cauchy}\) 是上式 \(f \equiv 1\) 的特例。知道解析函数 \(f\) 在曲线 \(C\) 上的值，还可以确定内部每一点的导数值，如果将式 (10) 看作是关于 \(a\) 的函数，两边对 \(a\) 求导数得到 \[ f'(a) = \frac{1}{2\pi i} \int_C \frac{f(z)}{(z-a)^2} ~\mathrm{d}z \] 由此还可以推广到任意高阶导数。所以说，解析函数性质是非常好的，但因此解析函数的性态会受到诸多限制，见下文给出的解析函数相关定理。

极值原理

应用 Cauchy 积分公式，可以直接得到对一般解析函数的限制，这就得到解析函数的极值原理：如果函数 \(f\) 是解析的，那么 \(|f|\) 的最大值只会在边界上取到。在这里只给出边界为圆的证明。考虑以点 \(z=a\) 为中心，半径为 \(R\) 的圆 \(\odot\)，根据式 \(\eqref{eq:jifen}\) 有 \[ f(a) = \frac{1}{2\pi } \int_{0}^{2\pi} f(a + R e^{i\theta}) ~\mathrm{d}\theta. \] 上式右端恰好等于 \(f(z)\) 在圆 \(\odot\) 上的积分平均。因此，除非在圆 \(\odot\) 上 \(f \equiv \mathrm{const}\)，否则边界上必然存在某一点 \(z_0\)，使得 \(|f(z_0)| > |f(a)|\)。对上式取实部，就可以用来说明 Laplace 方程的极值原理。如果更进一步， 考虑式 (12) 在圆上的曲线积分:

\[ f'(a) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\odot} \frac{f(z)}{(z-a)^2} ~\mathrm{d}z = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \frac{f(a + R e^{i\theta})}{R e^{i\theta}} ~\mathrm{d}\theta. \] 按照与极值原理证明相同的方法，点 \(a\) 的导数模 \(|f'(a)| < |f(z_0)|/R\)，其中 \(z_0\) 为任意环绕点 \(a\) 曲线上的某一点。在对 \(|f'(a)|\) 的估计式右端出现了与曲线尺寸相关的参数 (半径 \(R\))，如果 \(f\) 在整个复平面有界，那么 \(|f'(a)| < C/R\) 对任意 \(R\) 成立，这就等价于 \[ f'(a) \equiv 0, \quad \forall a \in \mathbb{C}, \] 所以 \(f\) 只能是常数。这就是 Liouville 定理：如果函数 \(f\) 是在整个复平面上解析且有界，那么 \(f\) 一定是常数。Liouville 定理反过来可以说明，如果函数 \(f\) 在整个复平面上有界，并且不等于常数，那么函数 \(f\) 在复平面上必定存在极点。例如，函数 \(f(z) = 1/(1+z^2)\) 在整个复平面上的模值小于等于 1。虽然在实数轴上，函数 \(1/(1+x^2)\) 都是有意义的，但是如果放到整个复平面上来看，函数 \(f(z)\) 存在两个极点，\(z=i\) 和 \(z=-i\)。