Laplace 和热传导方程的基本解
这篇文档给出 Laplace 和热传导方程的基本解，以及多种推导方式。这篇文档主要参考明平兵老师在学校开设应用偏微分方程的课程讲义。
Laplace 方程的基本解
设 Laplace 方程的基本解为 \(N(x)\)，满足方程 \[ -\Delta N = \delta, \] 对不同的维度，解 \(N(x)\) 为 \[ N(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{(d-2) S_d} |x|^{2-d}, &d \neq 2,\\ - \dfrac{1}{2\pi} \ln|x|, \quad & d = 2, \end{cases} \] 式中，\(S_d\) 为 \(d\) 维空间中单位球的表面积。特别的，一维、二维和三维情景下 Laplace 方程的基本解和图像如下： \[ \begin{equation}\label{eq:sln_laplace} N(x) = \begin{cases} -\dfrac{1}{2} |x|, & d = 1,\\ -\dfrac{1}{2\pi} \ln|x|, & d = 2,\\ \dfrac{1}{4\pi} \dfrac{1}{|x|}, & d =3. \end{cases} \end{equation} \]
推导方式 1：利用解的径向对称性
方程的解 \(N(x)\) 可以写成关于距原点距离为 \(r\) 的函数 \(v(r)\): \[ N(x) = v(r), \quad r = |x|. \] 将径向对称解代入到 Laplace 方程中的二阶导数项 \[ \frac{\partial v(|x|)}{\partial x_i} = v' \frac{x_i}{|x|}, \quad \frac{\partial^2 v(|x|)}{\partial x_i^2} = v'' \frac{x_i^2}{|x|^2} + v' \frac{|x|^2 - x_i^2}{|x|^{3}}. \] 求和得到关于 \(r\) 的常微分方程 \[ \Delta u = v'' + \frac{(d-1)}{r}v' = 0. \] 当 \(d \neq 1\) 时，上述微分方程的一个不平凡解为 \[ v' = Ar^{1-d}, \quad v = \begin{cases} A \ln r, &d = 2, \\ B\, r^{2-d}, &d > 2. \end{cases} \] 因此已经确定 Laplace 方程基本解的形式。确定待定系数 \(A\) 和 \(B\) 需要利用基本解在原点处满足的归一化条件，见下一种推导方式。
推导方式 2：Fourier 变换
方程两端作 Fourier 变换得到 \[ 4 \pi^2 |\xi|^2 \widehat N = 1, \quad |\xi|^2 \triangleq \xi_i \xi_i, \] 所以方程的基本解可以通过 Fourier 逆变换表示为 \[ N(x) = \mathscr{F}^{-1}[\widehat N] = \int_{\mathbb{R}^d} \frac{1}{4\pi^2 |\xi|^2} e^{i2\pi\xi \cdot x} ~\mathrm{d}\xi. \] 注意到 \(\widehat{N}\) 是 \(\alpha=-2\) 的齐次径向对称函数，所以 \(N\) 是 \(-d-\alpha = -d+2\) 齐次径向对称函数，因此 \(N\) 可以写成 \[ N(x) = N(|x|\frac{x}{|x|}) = |x|^{2-d}\, v(1). \] 为确定上式中的常数 \(v(1)\)，在球心在原点处、半径为 \(\varepsilon\) 的球 \(B_{\varepsilon}\) 内对 \(\Delta N\) 积分，并应用 Gauss 公式，转化到球面 \(\partial B_{\varepsilon}\) 的积分： \[ 1 = \int_{B_{\varepsilon}} -\Delta N ~\mathrm{d}x = - \int_{\partial B_{\varepsilon}} n \cdot \nabla N ~\mathrm{d} \sigma(x). \] 径向对称函数的法向导数为 \[ \nabla N = v'(r)\frac{x_i}{|x|} = v'(r) n, \quad n \cdot \nabla N = v'(r), \] 所以有 \[ 1 = - \int_{\partial B_{\varepsilon}} v' ~\mathrm{d} \sigma(x) = - v'(\varepsilon) S_{d} \varepsilon^{d-1} = (d-2) S_{d}\, v(1). \] 由此得到 \[ v(1) = \frac{1}{(d-2)S_{d}}, \quad N(x) = \frac{1}{(d-2) S_{d}} |x|^{2-d}, \quad d\neq 2. \]
Remark 1：\(d=2\) 时的基本解
式中对于 \(d=2\) 的情景是不适用的，不过可以考虑关于维度 \(d\) 的极限：\(d = 2 + \varepsilon\)，那么， \[ N(x) = \frac{1}{\omega_{1+ \varepsilon} \varepsilon }|x|^{-\varepsilon} = \frac{1}{2\pi} ~ \frac{1}{ \varepsilon }|x|^{-\varepsilon}. \] 将上式右端项关于 \(\varepsilon\) 渐进展开， \[ \frac{1}{ \varepsilon }|x|^{-\varepsilon} = \frac{1}{ \varepsilon }e^{-\varepsilon\ln|x|} \sim \frac{1}{\varepsilon} ( 1 - \varepsilon \ln |x| + o(\varepsilon) ). \] 保留主项 \(\ln |x|\)，代入基本解当中得到式 \(\eqref{eq:sln_laplace}\)。
Remark 2：\(d=1\) 时的基本解
基本解 \(u\) 满足的方程为 \(-u'' = \delta\)，该方程在 \(x=0\) 处有奇性，所以对 \(x>0\) 和 \(x<0\) 区域分别求解得到分段函数 \[ u = \begin{cases} c_1 x, & x<0,\\ c_2 x, & x>0. \end{cases} \] 为确定积分中出现的常数，还需要利用如下性质。首先是对称性，这要求 \(c_1 = -c_2 = c\)。然后对方程在区间 \((-\varepsilon,\varepsilon)\) 上积分得到 \[ -\int_{-\varepsilon}^{\varepsilon} u'' ~\mathrm{d}x = 1. \] 分别对 \((0,\varepsilon)\) 和 \((-\varepsilon,0)\) 两个区间段积分， \[ -u'|_{0^+}^{\varepsilon} - u'|_{-\varepsilon}^{0^-} = -c + u'(0^+)-u'(0^-)-c = [u'(0)] - 2c = 1. \] 设置间断条件 \([u'(0)] = 0\)，得到待定系数 \(c = -\frac{1}{2}\)，最终一维情景下的基本解见式 \(\eqref{eq:sln_laplace}\)。
热传导方程的基本解
这里使用 Fourier 变换求解热传导方程的基本解。基本解满足的方程和初始条件为 \[ \dfrac{\partial H}{\partial t} = \Delta H, \quad H(x,0) = \delta(x). \] 应用 Fourier 变换，有 \[ \dfrac{\mathrm{d} \widehat H}{\mathrm{d} t} + 4 \pi^2 |\xi|^2 \widehat H , \quad \widehat H(0) = 1. \] 求解上述微分方程，得到含时间参数 \(t\) 的 Fourier 变换后热传导方程的基本解 \(\widehat{H}\)： \[ \widehat H(t) = e^{-4\pi^2 |\xi|^2 t}, \] 可以看到，热传导方程基本解的形式是 Gauss 函数，应用 Gauss 函数的 Fourier 变换公式，得到 \[ \begin{equation}\label{eq:sln_heat} H(x,t) = \frac{1}{(4\pi t)^{d/2}} e^{- |x|^2/4t}. \end{equation} \]