Fourier 变换和逆变换公式系数的一致性

在不同数学文章中，使用的 Fourier 变换可能会在积分前的系数或积分项的指数有所差异，但是，Fourier 逆变换公式必须与定义的变换公式保持一致，才能满足 Fourier 逆定理。这篇文档希望给出具有 Fourier 变换和逆变换公式一致性的系数所满足的约束关系，减小在遇到不同的 Fourier 变换定义时的困扰。

首先先确定一种 Fourier 变换方式，之后在通过积分变换得到其它定义下的变换公式。定义在 \(\mathbb{R}^{d}\) 空间中，并满足 Fourier 逆定理的一种变换方式如下： \[ \hat{f}(\xi) = \mathcal{F}\circ f(\xi) \triangleq \int_{\mathbb{R}^d} f(x) e^{-i2\pi x \cdot \xi} \,\mathrm{d} x, \quad f(x) = \mathcal{F}^{-1}\circ \mathcal{F}\circ f(x) = \int_{\mathbb{R}^d} \hat{f}(\xi) e^{i2\pi x \cdot \xi} \,\mathrm{d} \xi. \] 引入待定系数 \(a\) 和 \(b\)，给出另一种 Fourier 变换的定义 \(\tilde{\mathcal{F}}\) 为 \[ \tilde{\mathcal{F}}\circ f(\xi) \triangleq b\int_{\mathbb{R}^d} f(x) e^{-i2\pi a x \cdot \xi} \,\mathrm{d} x = b\hat{f}(a\xi), \] 对应的 Fourier 逆变换公式为 \[ f(x) = \tilde{\mathcal{F}}^{-1} \circ \tilde{\mathcal{F}}\circ f(x) = b b' \int_{\mathbb{R}^d} \hat{f}(a\xi) e^{i 2\pi a x \cdot \xi} ~\mathrm{d} \xi. \] 作换元 \(a\xi = \eta\)，那么 \(a^d\, \mathrm{d} \xi = \mathrm{d} \eta\)，代入公式中得到 \[ f(x) = \frac{b b'}{a^{d}} \int_{\mathbb{R}^d} \hat{f}(\eta) e^{i 2\pi x \cdot \eta} \,\mathrm{d} \eta = \frac{b b'}{a^{d}} f(x), \] 由此得到逆变换公式的系数 \(b'\) 和变换公式之间系数 \(a\) 和 \(b\) 的关系为： \[ \begin{equation}\label{eq:x} b' = a^{d}/b. \end{equation} \] 上式表明，满足 Fourier 积分逆定理的系数不仅和系数 \(a\) 和 \(b\) 相关，一般还和 Fourier 变换定义的空间维度 \(d\) 相关。在一维情景下，如果选取 Fourier 变换公式的系数等于 \[ a = \frac{1}{2\pi},\quad b = 1, \] 那么对应的 Fourier 变换和逆变换公式为 \[ \hat{f}(\xi) = \mathcal{F}\circ f(\xi) \triangleq \int_{\mathbb{R}} f(x) e^{-i x \xi} \, \mathrm{d} x , \quad f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{\mathbb{R}} \hat{f}(\xi) e^{i x \xi} ~\mathrm{d} \xi. \] 而在三维情景下，Fourier 变换和逆变换公式为 \[ \hat{f}(\xi) = \mathcal{F}\circ f(\xi) \triangleq \int_{\mathbb{R}^3} f(x) e^{-i x \cdot \xi} \,\mathrm{d} x, \quad f(x) = \frac{1}{(2\pi)^3} \int_{\mathbb{R}^3} \hat f(\xi) e^{i x \cdot \xi} ~\mathrm{d} \xi. \] 如果希望 Fourier 变换与逆变换公式前的系数相等，也即 \(b = b'\)，那么系数 \(a\) 和 \(b\) 之间的关系为 \[ b = a^{d/2}. \] 如果不希望 Fourier 变换和逆变换中的系数和维度 \(d\) 显式相关，那么可令 \(a=1\)。