Hashin-Shtrikman 变分原理的表述

以下将给出 Hashin-Shtrikman 变分原理的表述。构造用于该变分原理的试验场将在其它文档中给出。

双场变分原理的表述

以下将通过 Young-Fechel 变换获得 H-S 变分原理中的双场泛函形式。考虑区域 \(\Omega\) 内的非均质材料，模量为 \(\mathbb{L}\)。给定位移边界条件 \(\boldsymbol{u}|_{\partial\Omega}=\boldsymbol{u}_{0}\)，由此得到在该区域内的最小势能原理表述为 \[ \check\Pi = \min_{\boldsymbol{u}\in \mathcal{U}} \Pi(\boldsymbol{u}) = \min_{\boldsymbol{u}\in \mathcal{U}}\frac{1}{2}\int_{\Omega} \nabla_{s}\boldsymbol{u}:\mathbb{L}:\nabla_{s}\boldsymbol{u} \ \mathrm{d}\Omega, \quad \mathcal{U} \triangleq \{ \boldsymbol{u} \mid \boldsymbol{u} \in H^{1},\ \boldsymbol{u}|_{\partial\Omega} = \boldsymbol{u}_{0} \}, \]

或者等价地，使用应变表示的最小势能原理： \[ \begin{equation} \check\Pi = \min_{\boldsymbol{\varepsilon}\in \mathcal{E}} \Pi(\boldsymbol{\varepsilon}) = \min_{\boldsymbol{\varepsilon}\in \mathcal{E}}\frac{1}{2}\int_{\Omega} \boldsymbol{\varepsilon}:\mathbb{L}:\boldsymbol{\varepsilon}\ \mathrm{d}\Omega, \quad \mathcal{S} \triangleq \{ \boldsymbol{\varepsilon} \mid\boldsymbol{\varepsilon}=\nabla_{s}\boldsymbol{u},\ \boldsymbol{u} \in H^{1},\ \boldsymbol{u}|_{\partial\Omega} = \boldsymbol{u}_{0} \}, \label{eq:min_potl} \end{equation} \] 现在，引入参考模量 \(\mathbb{L}_{0}\)，将泛函 \(\eqref{eq:min_potl}\) 分解成如下两部分： \[ \Pi(\boldsymbol{\varepsilon}) = \underbrace{\frac{1}{2}\int_{\Omega} \boldsymbol{\varepsilon}:(\mathbb{L} - \mathbb{L}_{0}):\boldsymbol{\varepsilon} \ \mathrm{d}\Omega}_{\Delta \Pi} + \underbrace{\frac{1}{2}\int_{\Omega} \boldsymbol{\varepsilon}:\mathbb{L}_{0}:\boldsymbol{\varepsilon} \ \mathrm{d}\Omega}_{\Pi_{0}}. \] 假设 \(\Delta \mathbb{L} \triangleq \mathbb{L}-\mathbb{L}_{0}\) 正定，应用 Young-Fechel 变换，将 \(\Delta \Pi\) 表示为关于另一个二阶张量场 \(\boldsymbol{p}\) 的二次型变分问题： \[ \begin{equation} \Delta \Pi = \max_{\boldsymbol{p} \in \mathcal{P}} \left\{ \int_{\Omega} \left( \boldsymbol{p}:\boldsymbol{\varepsilon} - \frac{1}{2} \boldsymbol{p}:\Delta\mathbb{L}^{-1}:\boldsymbol{p} \right) \mathrm{d}\Omega \right\}, \quad \mathcal{P}= \{ \boldsymbol{p} \mid \boldsymbol{p} \in L^{2} \}. \label{eq:yf} \end{equation} \] 若 \(\Delta \mathbb{L} \triangleq \mathbb{L}-\mathbb{L}_{0}\) 负定，那么上式中求最大值将替换为求最小值。将式 \(\eqref{eq:yf}\) 代入泛函 \(\eqref{eq:min_potl}\) 中，并交换求最大最小的顺序，就得到关于两场泛函 \(\mathcal{H}(\boldsymbol{p},\boldsymbol{\varepsilon})\) 的变分问题： \[ \begin{equation} \check{\Pi} = \begin{cases} \max\limits_{\boldsymbol{p}\in\mathcal{P}} \min\limits_{\boldsymbol{\varepsilon}\in\mathcal{E}} \mathcal{H}(\boldsymbol{p},\boldsymbol{\varepsilon}), \quad \Delta\mathbb{L}\text{ is positive definite}, \\ \min\limits_{\boldsymbol{p}\in\mathcal{P}} \min\limits_{\boldsymbol{\varepsilon}\in\mathcal{E}} \mathcal{H}(\boldsymbol{p},\boldsymbol{\varepsilon}), \quad \Delta\mathbb{L}\text{ is negative definite}, \end{cases} \label{eq:hs_vari} \end{equation} \] 泛函 \(\mathcal{H}(\boldsymbol{p},\boldsymbol{\varepsilon})\) 的形式为： \[ \begin{equation} \mathcal{H}(\boldsymbol{p},\boldsymbol{\varepsilon}) \triangleq \int_{\Omega} \left( \boldsymbol{p}:\boldsymbol{\varepsilon} - \frac{1}{2} \boldsymbol{p}:\Delta\mathbb{L}^{-1}:\boldsymbol{p} + \frac{1}{2} \boldsymbol{\varepsilon}:\mathbb{L}_{0}:\boldsymbol{\varepsilon} \right) \mathrm{d}\Omega. \label{eq:hsfctl_ori} \end{equation} \] 接下来将通过分解位移场进一步简化泛函 \(\mathcal{H}\) 的形式。位移场 \(\boldsymbol{u}\) 可以分解为如下两部分：\(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{u}_{0} + \tilde{\boldsymbol{u}}\)，其中 \(\boldsymbol{u}_{0}\) 是使得均质材料的势能 \(\Pi_{0}\) 取最小值的位移场，满足给定的位移边界条件，作为泛函中的已知量： \[ \check\Pi_{0}\triangleq\Pi_{0}(\boldsymbol{u}_{0}) = \min_{\boldsymbol{u}\in\mathcal{U}}\frac{1}{2}\int_{\Omega} \nabla_{s}\boldsymbol{u}:\mathbb{L}_{0}:\nabla_{s}\boldsymbol{u} \ \mathrm{d}\Omega; \] 而位移扰动场 \(\tilde{\boldsymbol{u}}\) 是新的依赖变量，在可行域空间 \(\mathcal{U}_{0}\triangleq \{ \boldsymbol{u} \mid \boldsymbol{u} \in H^{1},\ \boldsymbol{u}|_{\partial\Omega} = \boldsymbol{0} \}\) 中取值。相应的，应变场也可以分解为 \[ \boldsymbol{\varepsilon} = \boldsymbol{\varepsilon}_{0} + \tilde{\boldsymbol{\varepsilon}}, \quad \boldsymbol{\varepsilon}_{0} = \nabla_{s} \boldsymbol{u}_{0}, \quad \tilde{\boldsymbol{\varepsilon}} = \nabla_{s} \tilde{\boldsymbol{u}} \in \mathcal{S}_{0}. \] 按照如上分解，泛函 \(\eqref{eq:hsfctl_ori}\) 就可以简化为如下形式： \[ \begin{equation} \mathcal{H}(\boldsymbol{p},\tilde{\boldsymbol{\varepsilon}}) \triangleq \int_{\Omega} \left( \frac{1}{2}\tilde{\boldsymbol{\varepsilon}}:\mathbb{L}_{0}:\tilde{\boldsymbol{\varepsilon}} + \boldsymbol{p}:\tilde{\boldsymbol{\varepsilon}} + \boldsymbol{p}:\boldsymbol{\varepsilon}_{0} - \frac{1}{2} \boldsymbol{p}:\Delta\mathbb{L}^{-1}:\boldsymbol{p} \right) \mathrm{d}\Omega + \check\Pi_{0}, \label{eq:hsfctl} \end{equation} \] 而变分原理 \(\eqref{eq:hs_vari}\) 中应变场的可行域应改成 \(\mathcal{S}_{0}\)。

Hashin-Shtrikman 变分原理的不同表述

式 \(\eqref{eq:hs_vari}\) 和式 \(\eqref{eq:hsfctl}\) 给出 Hashin-Shtrikman 变分原理的一般表述形式，但在文献中还有多种其它形式的表述，提供了不同角度的理解，以下将分别介绍。

应用辅助方程

式 \(\eqref{eq:hs_vari}\) 中的表述嵌套了两个求最值的问题，包含两个互不相关的依赖变量 \((\boldsymbol{p}, \tilde{\boldsymbol{\varepsilon}})\)。一种处理方式是将内部求最小值的变分问题转化为相应的 Euler 方程，通过该方程将两个依赖变量进行关联。将 \(\mathcal{H}\) 中与依赖变量 \(\tilde{\boldsymbol{\varepsilon}}\) 相关的泛函项单独取出，取最小值之后得到的关于 \(\boldsymbol{p}\) 的泛函记作 \(\mathcal{J}\)： \[ \begin{equation} \mathcal{J}(\boldsymbol{p}) = \min_{\tilde{\boldsymbol{\varepsilon}} \in \mathcal{E}_{0}} \int_{\Omega} \left( \frac{1}{2}\tilde{\boldsymbol{\varepsilon}}:\mathbb{L}_{0}:\tilde{\boldsymbol{\varepsilon}} + \boldsymbol{p}:\tilde{\boldsymbol{\varepsilon}} \right)\mathrm{d}\Omega. \label{eq:df_j} \end{equation} \] 这一泛函问题对应的边值问题是： \[ \begin{equation} \left( \mathbb{L}_{0} : \nabla_{s}\tilde{\boldsymbol{u}} + \boldsymbol{p} \right)\cdot\nabla = \boldsymbol{0}, \quad \tilde{\boldsymbol{u}}|_{\partial\Omega} = \boldsymbol{0}. \label{eq:subsd} \end{equation} \] 因此，如果给出上述辅助方程之后，内部取最小值的运算就可以拿掉。更进一步地，根据Clapeyron 定理，外力功等于两倍的势能： \[ \int_{\Omega} \boldsymbol{p}:\tilde{\boldsymbol{\varepsilon}}\ \mathrm{d}\Omega =2\int_{\Omega} \left( \frac{1}{2}\tilde{\boldsymbol{\varepsilon}}:\mathbb{L}_{0}:\tilde{\boldsymbol{\varepsilon}} + \boldsymbol{p}:\tilde{\boldsymbol{\varepsilon}} \right)\mathrm{d}\Omega, \] 还可以将式 \(\eqref{eq:df_j}\) 中的二次型泛函进一步化简，最终得到 \(\mathcal{H}\) 的形式为 \[ \begin{equation} \mathcal{H}(\boldsymbol{p},\tilde{\boldsymbol{\varepsilon}}) = \int_{\Omega} \left( \frac{1}{2}\boldsymbol{p}:\tilde{\boldsymbol{\varepsilon}} + \boldsymbol{p}:\boldsymbol{\varepsilon}_{0} - \frac{1}{2} \boldsymbol{p}:\Delta\mathbb{L}^{-1}:\boldsymbol{p} \right) \mathrm{d}\Omega + \check\Pi_{0}, \label{eq:hsfctl_subsd} \end{equation} \] 并在 \[ \begin{equation} \boldsymbol{p} = \Delta \mathbb{L}:\boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:stat} \end{equation} \] 处取驻值。式 \(\eqref{eq:subsd}\)，\(\eqref{eq:hsfctl_subsd}\) 和 \(\eqref{eq:stat}\) 则对应 Hashin-Shtrikman 论文中原始泛函形式。

应用 Green 函数

根据上一节的内容，已经知道在辅助方程 \(\eqref{eq:subsd}\) 提供的关联之下，泛函 \(\mathcal{J}\) 可以去除取最小值的运算，直接写成 \[ \mathcal{J}(\boldsymbol{p}) = \int_{\Omega} \frac{1}{2} \boldsymbol{p} : \hat{\boldsymbol{\varepsilon}}(\boldsymbol{p}) \ \mathrm{d}\Omega, \] 式中，\(\hat{\boldsymbol{\varepsilon}}(\boldsymbol{p})\) 是边值问题 \(\eqref{eq:subsd}\) 的解，与极化应力 \(\boldsymbol{p}\) 相关，可以通过 Green 函数进行形式上地表示： \[ \hat{\boldsymbol{u}}(\boldsymbol{x}) = -\int_{\Omega} \boldsymbol{G}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})\nabla_{\boldsymbol{y}} : \boldsymbol{p}(\boldsymbol{y}) \ \mathrm{d} \boldsymbol{y}. \] 为了表达式的清晰，以上将独立变量 \(\boldsymbol{x}\)，\(\boldsymbol{y}\) 显式写出，并将体积元暂时写成 \(\mathrm{d}\boldsymbol{x}\)，\(\mathrm{d}\boldsymbol{y}\) 的形式。因此，经过分部积分之后，应变场可以表示为 \[ \hat{\boldsymbol{\varepsilon}}(\boldsymbol{p}) = -\int_{\Omega} \Gamma(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) : (\boldsymbol{p}(\boldsymbol{y}) - \boldsymbol{p}(\boldsymbol{x})) \ \mathrm{d} \boldsymbol{y}, \quad \Gamma(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) \triangleq\nabla_{\boldsymbol{x}}\boldsymbol{G}\nabla_{\boldsymbol{y}}, \] 式中，\(\Gamma\) 是具有次对称性的四阶张量场。将上式代入到 \(\mathcal{J}\) 表达式中，再利用 \(\Gamma\) 的对称性，就得到 \[ \mathcal{J}(\boldsymbol{p}) = \frac{1}{4}\int_{\Omega} \int_{\Omega} \{\boldsymbol{p}(\boldsymbol{y}) - \boldsymbol{p}(\boldsymbol{x})\} :\Gamma(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) : \{ \boldsymbol{p}(\boldsymbol{y}) - \boldsymbol{p}(\boldsymbol{x}) \} \ \mathrm{d} \boldsymbol{x}\mathrm{d} \boldsymbol{y} \]