Hashin-Shtrikman 变分原理的构造

在给出 Hashin-Shtrikman 变分原理的陈述之后，本文档关注如何构造一个极化应力场，并得到等效模量上下界的估计。

带约束的 Hashin-Shtrikman 变分原理

H-S 给出的泛函形式如下所示： \[ \begin{equation}\label{eq:hs_vari} \mathcal{H}(\boldsymbol{p},\tilde{\boldsymbol{\varepsilon}}\mid\mathbb{L}_{0}) = \int_{\Omega} \left( \frac{1}{2}\boldsymbol{p}:\tilde{\boldsymbol{\varepsilon}} + \boldsymbol{p}:\boldsymbol{\varepsilon}_{0} - \frac{1}{2} \boldsymbol{p}:(\mathbb{L} - \mathbb{L}_{0})^{-1}:\boldsymbol{p} \right) \mathrm{d}\Omega + \frac{1}{2} \boldsymbol{\varepsilon}_{0} : \mathbb{L}_{0} : \boldsymbol{\varepsilon}_{0}. \end{equation} \] 式中，泛函 \(\eqref{eq:hs_vari}\) 含有两个依赖变量：极化应力 \(\boldsymbol{p}\) 和应变场扰动 \(\tilde{\boldsymbol{\varepsilon}}\)，以及一个参数：参考模量 \(\mathbb{L}_{0}\)。依赖变量之间并不独立，而是通过如下辅助方程相互联系： \[ \begin{equation} \left( \mathbb{L}_{0} : \nabla_{s}\tilde{\boldsymbol{u}} + \boldsymbol{p} \right)\cdot\nabla = \boldsymbol{0}, \quad \tilde{\boldsymbol{u}}|_{\partial\Omega} = \boldsymbol{0}. \label{eq:subsd} \end{equation} \]

极化应力的可行域是可积函数空间；应变场扰动的可行域空间是所有相容且在区域 \(\Omega\) 内体积平均等于零的应变场；宏观应变 \(\boldsymbol{\varepsilon}_{0}\) 是给定值。泛函 \(\eqref{eq:hs_vari}\) 在如下位置取驻值： \[ \begin{equation} \boldsymbol{p} = \Delta \mathbb{L}:(\boldsymbol{\varepsilon}_{0} + \tilde{\boldsymbol{\varepsilon}}). \label{eq:stat} \end{equation} \] 当参考模量 \(\mathbb{L}_{0}^{-}\) 使得 \(\Delta\mathbb{L} \triangleq \mathbb{L} - \mathbb{L}_{0}\) 正定时，泛函 \(\eqref{eq:hs_vari}\) 在驻点处取最大值；而当参考模量 \(\mathbb{L}_{0}^{+}\) 使 \(\Delta\mathbb{L}\) 负定时，泛函在驻点处取最小值。因此有如下不等式成立： \[ \mathcal{H}(\hat{\boldsymbol{p}}^{-},\tilde{\boldsymbol{\varepsilon}}\mid\mathbb{L}_{0}^{-}) \leq \frac{1}{2} \boldsymbol{\varepsilon}_{0} : \mathbb{L}^{c} : \boldsymbol{\varepsilon}_{0} \leq \mathcal{H}(\hat{\boldsymbol{p}}^{+},\tilde{\boldsymbol{\varepsilon}}\mid\mathbb{L}_{0}^{+}), \] 式中，\(\hat{\boldsymbol{p}}\) 是任意满足可积条件的极化应力场。接下来将构造分片常值分布的极化应力场，并显式地写出泛函取值。

极化应力场的构造

考虑材料相均为各向同性材料，因此将任意二阶张量 \(\boldsymbol{\varepsilon}\) 分解成体积部分和剪切部分： \[ \boldsymbol{\varepsilon} = \varepsilon_{h}\boldsymbol{I} + \boldsymbol{\varepsilon}_{s}, \quad \varepsilon_{h} \triangleq\frac{1}{3}\varepsilon_{kk}, \] 那么泛函 \(\eqref{eq:hs_vari}\) 就可以简化为 \[ \begin{equation} \mathcal{H}(\boldsymbol{p},\tilde{\boldsymbol{\varepsilon}}\mid K_{0},G_{0}) = U_{0} + \tilde{U} + U_{\boldsymbol{p}}, \label{eq:hs_iso} \end{equation} \] 其中，由应力场扰动项贡献的能量 \(\tilde{U}\)，以及关于极化应力的二次型 \(U_{p}\) 分别为 \[ \tilde{U} = \frac{1}{2}\int_{\Omega} \left( 3p_{h}\tilde{\varepsilon}_{h} + \boldsymbol{p}_{s}:\tilde{\boldsymbol{\varepsilon}}_{s} \right)\mathrm{d}\Omega, \quad U_{\boldsymbol{p}} = \frac{1}{2}\int_{\Omega} \left(6p_{h}\varepsilon_{h}^{0} + 2\boldsymbol{p}_{s}:\boldsymbol{\varepsilon}^{0}_{s} - \frac{p_{h}^{2}}{K-K_{0}} - \frac{\boldsymbol{p}_{s}:\boldsymbol{p}_{s}}{2(G-G_{0})} \right)\mathrm{d}\Omega. \]

构造分片常值分布的极化应力场 \(\hat{\boldsymbol{p}}\)： \[ \hat{\boldsymbol{p}}(\boldsymbol{x}) = \sum_{\alpha=1}^{N} \boldsymbol{p}^{(\alpha)}\chi^{(\alpha)}(\boldsymbol{x}), \] 并代入到泛函 \(U_{\boldsymbol{p}}\) 中，得到 \[ \begin{equation} U_{\boldsymbol{p}}(p_{h}^{(\alpha)},\boldsymbol{p}_{s}^{(\alpha)}) = 3\varepsilon_{h}^{0} \left\langle p_{h} \right\rangle - \frac{1}{2} \Big\langle \frac{p_{h}^{2}}{K-K_{0}} \Big\rangle + \boldsymbol{\varepsilon}_{s}^{0}: \left\langle \boldsymbol{p}_{s} \right\rangle - \frac{1}{2} \Big\langle \frac{\boldsymbol{p}_{s}:\boldsymbol{p}_{s}}{2(G-G_{0})} \Big\rangle. \label{eq:up_disc} \end{equation} \]

比较麻烦的是 \(\tilde{U}\) 项，H-S 通过 Fourier 方法获得这一相的表达式为 \[ \begin{equation} 2 \tilde{U}(p_{h}^{(\alpha)},\boldsymbol{p}_{s}^{(\alpha)}) = \alpha_{0} \left\{ \left\langle p_{h}^{2} \right\rangle - \left\langle p_{h} \right\rangle^{2} \right\} + \beta_{0} \left\{ \left\langle \boldsymbol{p}_{s}:\boldsymbol{p}_{s} \right\rangle - \left\langle \boldsymbol{p}_{s} \right\rangle:\left\langle \boldsymbol{p}_{s} \right\rangle \right\}, \label{eq:uf_disc} \end{equation} \]

式中， \[ \begin{equation} \alpha_{0}\triangleq -\frac{3}{3 K^0 + 4\mu^0}, \quad \beta_{0} \triangleq -\frac{3 K^0 + 6\mu^0}{5\mu^0 (3 K^0 + 4\mu^0)}. \label{eq:hs_factor} \end{equation} \] 结合式 \(\eqref{eq:up_disc}\)，\(\eqref{eq:uf_disc}\) 和 \(\eqref{eq:hs_factor}\)，代入各向同性材料的 H-S 变分式 \(\eqref{eq:hs_iso}\) 中，就得到关于有限维依赖变量 \((p_{h}^{(\alpha)},\boldsymbol{p}_{s}^{(\alpha)})\) 的二次型表达式： \[ \begin{equation} \begin{aligned} \hat{\mathcal{H}} (p_{h}^{(\alpha)},\boldsymbol{p}_{s}^{(\alpha)}; K_{0},G_{0}) - U_{0} &= 3\varepsilon_{h}^{0} \left\langle p_{h} \right\rangle - \frac{1}{2} \Big\langle \big( \frac{1}{K-K_{0}}-\alpha_{0} \big) p_{h}^{2} \Big\rangle - \frac{1}{2}\alpha_{0} \left\langle p_{h} \right\rangle^{2} \\ &+ \boldsymbol{\varepsilon}_{s}^{0}: \left\langle \boldsymbol{p}_{s} \right\rangle - \frac{1}{2} \Big\langle \big( \frac{1}{2(G-G_{0})} - \beta_{0} \big) \boldsymbol{p}_{s}:\boldsymbol{p}_{s} \Big\rangle - \frac{1}{2}\beta_{0}\left\langle \boldsymbol{p}_{s} \right\rangle:\left\langle \boldsymbol{p}_{s} \right\rangle. \end{aligned} \label{eq:hs_nb} \end{equation} \] 上式关于体积和剪切部分是解耦的，因此可以分别考虑。为使得式 \(\eqref{eq:hs_nb}\) 取极值，对变量 \(p_{h}^{(\alpha)}\) 求偏导数之后等于零，就得到 \(N\) 个关于 \(p_{h}^{(\alpha)}\) 的方程： \[ \frac{\partial \hat{\mathcal{H}}}{\partial p_{h}^{(\alpha)}}=0 \Rightarrow \big( \frac{1}{K^{(\alpha)}-K_{0}}-\alpha_{0} \big) p_{h}^{(\alpha)} + \alpha_{0} \sum_{\beta=1}^{N} c^{(\beta)} p_{h}^{(\beta)} = 3\varepsilon_{h}^{0}, \quad \alpha=1,2,\ldots,N. \] 这个方程系统是对角矩阵加秩一形式，如果记列向量 \[ (\mathbf{m})_{i} = \frac{1}{K^{(i)}-K_{0}}-\alpha_{0}, \quad (\mathbf{c})_{i} = c^{(i)}, \quad \mathbf{a} = \alpha_0 \mathbf{1}, \] 那么方程系数的逆就等于 \[ (\mathrm{diag}\ \mathbf{m} + \mathbf{a}\mathbf{c}^{\top})^{-1} = \mathrm{diag}\ \mathbf{m}^{-1} - \frac{\alpha_{0}\mathbf{m}^{-1} \mathbf{c}^{\top} \mathrm{diag}\ \mathbf{m}^{-1}} {1+\alpha_{0}\mathbf{c}^{\top} \mathbf{m}^{-1}}, \] 再乘恒一向量 \(\mathbf{1}\)，就得到 \[ \mathbf{p}_{h} = 3\varepsilon_{h}^{0} (\mathrm{diag}\ \mathbf{m} + \mathbf{a}\mathbf{c}^{\top})^{-1} \mathbf{1} = \frac{3\varepsilon_{h}^{0}}{1+\alpha_{0}\mathbf{c}^{\top} \mathbf{m}^{-1}}\mathbf{m}^{-1} \] 因此，如果记 \[ K_{hs}^{(\alpha)} = (\mathbf{m})_{\alpha}^{-1} = \frac{1}{K^{(\alpha)}-K_{0}}-\alpha_{0}, \quad \bar{K}_{hs} =\mathbf{c}^{\top} \mathbf{m}^{-1} = \sum_{\alpha=1}^{N} c^{(\alpha)} K_{hs}^{(\alpha)}, \] 那么方程的解等于 \[ p_{h}^{(\alpha)} = \frac{3K_{hs}^{(\alpha)}}{ 1+\alpha_{0} \bar{K}_{hs} } \varepsilon_{h}^{0} \] 类似的，关于剪切部分的极化应力满足方程 \[ \frac{\partial \hat{\mathcal{H}}}{\partial \boldsymbol{p}_{s}^{(\alpha)}}=\boldsymbol{0} \Rightarrow \big( \frac{1}{2(G^{(\alpha)}-G_{0})}-\beta_{0} \big) \boldsymbol{p}_{s}^{(\alpha)} + \beta_{0} \sum_{\beta=1}^{N} c^{(\beta)} \boldsymbol{p}_{s}^{(\beta)} = \boldsymbol{\varepsilon}_{s}^{0}, \quad \alpha=1,2,\ldots,N. \] 如果记 \[ 2G_{hs}^{(\alpha)} = \frac{1}{2(G^{(\alpha)}-G_{0})}-\beta_{0}, \quad \bar{G}_{hs} = \sum_{\alpha=1}^{N} c^{(\alpha)} G_{hs}^{(\alpha)}, \] 那么方程的解为 \[ \boldsymbol{p}_{s}^{(\alpha)} = \frac{2G_{hs}^{(\alpha)}}{ 1+2\beta_{0} \bar{G}_{hs} } \boldsymbol{\varepsilon}_{s}^{0}. \] 最后，将方程的解代入到 中，就得到 \[ \begin{aligned} 2\hat{\mathcal{H}} (p_{h}^{(\alpha)},\boldsymbol{p}_{s}^{(\alpha)}; K_{0},G_{0}) &= 9(\varepsilon_{h}^{0})^{2}\Big( K_{0} + \sum_{\alpha=1}^{N}\frac{c^{(\alpha)} K_{hs}^{(\alpha)}}{ 1+\alpha_{0} \bar{K}_{hs} } \Big) \\ &+ 2\boldsymbol{\varepsilon}_{s}^{0}:\boldsymbol{\varepsilon}_{s}^{0} \Big( G_{0} + \sum_{\alpha=1}^{N}\frac{c^{(\alpha)}G_{hs}^{(\alpha)}}{ 1+2\beta_{0} \bar{G}_{hs} } \Big) \end{aligned} \]