\(n\) 维欧几里得空间定义为 \(\mathbb{E}^{n}\), 如无特别说明, 方程或函数的定义域 \(\Omega \subset \mathbb{E}^{3}\).
欧式空间中的元素使用粗体小写字母 \(\boldsymbol{x}\) 或者 \(\boldsymbol{y}\) 表示.
一般的 \(n\) 阶张量空间表示为 \(\mathbb{T}^{n}\), 特别的, 二阶对称张量空间记作 \(\mathbb{S}\). 二阶张量一般使用斜粗体 \(\boldsymbol{T}\) 表示, 四阶张量使用黑板粗体 \(\mathbb{T}\) 表示, 其它阶次的张量使用无衬线字体 \(\mathsf{T}\) 表示.
位移的渐进展开式为 \[ u_{i}^{\zeta} = u_{i}^{(0)}(x) + \zeta u_{i}^{(1)}(x,y) + \mathcal{O}(\zeta^2) \] 这里已经应用应变渐进展开式 \(\mathcal{O}({\zeta^{-1}})\) 项等于 0, 所以零阶项 \(u_{i}^{(0)}\) 只是关于变量 \(x\) 的函数. 应变, 本征应变和应力的渐进展开式分别为 \[ \varepsilon_{ij}^{\zeta} = \varepsilon_{ij}^{(0)} + \zeta \varepsilon_{ij}^{(1)} + \mathcal{O}(\zeta^2)\\ \mu_{ij}^{\zeta} = \mu_{ij}^{(0)} + \zeta \mu_{ij}^{(1)} + \mathcal{O}(\zeta^2) \\ \sigma_{ij}^{\zeta} = \sigma_{ij}^{(0)} + \zeta \sigma_{ij}^{(1)} + \mathcal{O}(\zeta^2) \]
降阶均质化方法是在 ABAQUS UMAT 层面实现的. ABAQUS 在每个增量步的迭代步时调用 UMAT, 考虑有限元计算框架中第 \(n\) 个增量步, 第 \(i+1\) 个迭代步. 在进入 UMAT 时, 已知前 \(n-1\) 个增量步的历史信息, 和当前迭代步 \(i+1\) 的位移. 为了使接下来方程的增量表达式更加清晰, 首先引入以下增量记号, 它们写在力学变量之前, 表示不同的含义:
我们再引入花括号 \(\{\cdot\}\) 表示分块物理量的集合. 例如 \(\{ \Delta \varepsilon \}\) 表示分块上的应变 \(\Delta \varepsilon^{(\alpha)}\), \(\alpha=1,2,\ldots,N\).
在本节推导中假设如下:
材料在参考构型中的内能体积密度 \(W = \rho_0 e\) 可以表示为变形梯度的函数, \(W= W(F)\);
不考虑材料与外部的热交换, 因此能量守恒定律表述为
\[ \begin{equation} \frac{\mathrm{D} W}{\mathrm{D} t} = J \sigma : v \nabla \label{eq:energy_conservation} \end{equation} \]
式中, \(J \triangleq \det F = \rho_0/\rho\).
变形梯度不仅将参考构型中的微元 \(\mathrm{d}X\) 映射为当前构型中的微元 \(\mathrm{d}x\), 同时作为两点张量, 还将物质形式的物理量映射到空间形式的物理量. 因此, 对于空间向量 \(v_{i}(x,t)\), 我们可以从数学的意义上, 将该变量 pull back 到物质坐标表示的物质形式的向量 \(V_I(X,t)\): \[ V_I(X,t) \triangleq F_{Ii}^{-1} v_{i}(\varphi(X,t), t) \] 类似的, 也可以将用物质形式的向量 \(G_{I}\), push forward 到空间形式的向量 \(g_i\): \[ g_i(x,t) \triangleq F_{iI} G_{I}(\varphi^{-1}(x,t), t) \] 如果使用变形梯度作为对向量前推后拉的操作运算, 那么除了使用 \(F_{iI}\), \(F_{Ii}^{-1}\) 之外, 还可以使用变形梯度的转置 \(F_{iI}^{-\top}\), \(F_{Ii}^{\top}\). 对每一个指标, 有两种前推 \(\{ F_{iI}, F_{iI}^{-\top} \}\) 后拉 \(\{ F_{Ii}^{-1}, F_{Ii}^{T} \}\) 的方式. 因此, 如果推广到对二阶张量的前推后拉操作, 每种运算有四种方式.
在 Spencer 的连续介质力学书中, Cauchy 应力定义为 \[ t^{(i)} = \sigma_{ij} e_{j}, \quad \mathrm{or} \quad \sigma_{ij} \triangleq t^{(i)} \cdot e_{j} \] 这样得到的平衡方程为 \[ \nabla \cdot \sigma + \rho b = 0, \quad \mathrm{or} \quad \sigma_{ji,j} + \rho b_{i} = 0 \tag{1} \] 而我熟悉的平衡方程为 \[ \sigma_{ij,j} + \rho b_i = 0 \]
空间坐标下的守恒方程可通过输运定理获得, 而对于物质坐标下的守恒方程, 我们通过积分参数变换的方式获得. 因此在本文中, 我们首先陈述微元在不同参数表示下的变换关系, 然后再根据空间坐标下的守恒方程, 通过参数变换, 得到物质坐标下的守恒方程.
对于 \(n\) 阶行列式 \(|A|\), 去掉 \(i\) 行和 \(j\) 列得到的 \(n-1\) 阶行列式记作余因式 \(c_{ij}\), 行列式 \(|A|\) 的代数余子式定义为 \[ m_{ij} \triangleq (-1)^{i+j} c_{ij} \] 行列式可以按照行或者列展开为低阶行列式的线性组合: \[ |A| = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} m_{ij} = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} m_{ij} \]
考虑空间坐标下的控制体 \(V\), 在 \(\delta t\) 时间内, 流出控制体 \(V\) 的质量为 \[ \mathrm{d} m = \delta_t\int_{\partial V} \rho v\cdot n ~\mathrm{d}S + \mathcal{O}(\delta t^2) \] 控制体在 \(t+\delta t\) 时刻的质量为 \[ m_V(t+\delta t) = \int_{V} \rho(x,t+\delta t) ~\mathrm{d}x \] 质量守恒的表述为: 在控制体的质量改变, 只能通过质量进出控制体引起. 因此有 \[ m_{V}(t + \delta t) = m_{V}(t) - \mathrm{d} m \Rightarrow m_{V}(t + \delta t) - m_{V}(t) + \mathrm{d} m = 0 \]
伸长率 \(\lambda\) 在参考构型中表示为 \[ \lambda^2 = N C N \] 两边求物质导数, 得到 \[ 2 \lambda \dot{\lambda} = N \dot{C} N \] 其中, \[ \dot{C} = \dot{F}^{\top}F + F^{\top} \dot{F} \] 代入式中, 得到 \[ 2 \lambda \dot{\lambda} = N \dot{F}^{\top}F N + N F^{\top} \dot{F} N \]
在有限变形的框架下, 使用物质坐标系和空间坐标系描述应变的度量分别为 Lagrange 应变和 Euler 应变: \[ E \triangleq \frac{1}{2}(F^{\top} F - I), \quad e \triangleq \frac{1}{2}(I - F^{-\top} F^{-1}) \tag{1} \] 式中的 \(F\) 和 \(F^{-1}\) 分别为 \[ F_{iI} = \frac{\partial x_i}{\partial X_I}, \quad F_{Ii}^{-1} = \frac{\partial X_I}{\partial x_i} \]
向量空间的定义在此不再赘述, 不过需要补充一些 remarks:
[!NOTE]
- 向量空间只定义了运算的概念, 并没有引入距离, 角度等拓扑概念.
- 向量空间中的“向量”并不局限于后文提到的一阶张量, 而是更抽象的概念, 比如表示全体连续函数的向量空间 \(C^{0}\), 连续函数 \(f\) 是向量空间 \(C^0\) 中的一个元素.
- 向量空间总是需要伴随一个数域 \(\mathbb{F}\), 可以是实数域 \(\mathbb{R}\), 也可以是复数域 \(\mathbb{C}\). 对于有限维的向量空间, 在给定一组基底之后, 就能够定义一个从 \(V\) 到 \(\mathbb{F}^n\) (\(n\) 为向量空间的维度) 的一一映射, 因此 \(V\) 同构于 \(\mathbb{F}^n\)
首先, 我们先定义梯度, 散度和旋度的概念, 并特别强调对于高阶张量的定义, 这将规范我们使用的 notation. 然后, 我们以二维空间为例, 引出散度定理, Stokes 公式和 Gauss 公式. 最后, 我们再给出一般的张量场中这三种公式的形式.
我们引入记号 \(\nabla\), \(\nabla \cdot\), \(\nabla \times\), 分别表示梯度, 散度和旋度. 我们首先介绍这三种运算最简单的情况, 然后再推广到一般的张量空间当中.
对标量场的梯度运算, 得到的是一个向量场: \[ \nabla \phi = \frac{\partial \phi\ }{\partial x_i} e_i \] 对向量场的散度运算, 得到的是一个标量场: \[ \nabla \cdot v = \frac{\partial v_i}{\partial x_i} \] 对向量场的旋度运算, 得到的仍是一个向量场: \[ \nabla \times v = \begin{vmatrix} i & j & k \\ \dfrac{\partial \ }{\partial x_1} & \dfrac{\partial \ }{\partial x_1} & \dfrac{\partial \ }{\partial x_1} \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} \]
使用物质描述的控制方程定义在 \(B_0 \times (0,t_0)\) 区域上, 方程的未知量为 \(\varphi(X,t)\), 满足守恒定律的控制方程为 \[ (\varphi \nabla_0) \cdot S \cdot \nabla_0 + \rho_0 b = \rho_0 \frac{ \partial^2 \varphi }{ \partial t^2 } \tag{1.1.a} \] 式中, \(S\) 为 PK2 应力. 对于是初边值问题, 定解需要给定初始条件和边界条件. 其中初始条件为 \[ \varphi(X,0) = X, \quad \frac{ \partial \varphi }{ \partial t}(X,0) = v_0(X) \tag{1.1.b} \] 方程的边界条件有两类, 一类是位移边界条件, 在参考构型中的边界处指定 \(t>0\) 时刻的位移: \[ \varphi(X,t) = \overline{x}(X,t), \quad X \in \partial B_{0u},~ t > 0 \tag{1.1.c} \] 另一类是力边界条件, 在参考构型的边界处指定 \(t>0\) 时刻的面力:
Fourier 变换公式, 在不同的应用场景下, 定义可能是不一样的. 但是, Fourier 逆变换公式必须与变换公式保持一致, 才能满足 Fourier 逆定理. 例如, 定义一种 Fourier 变换方式如下 \[ \hat f(\xi) \triangleq \int_{\mathbb{R}^d} f(x) e^{-i2\pi x \cdot \xi} ~\mathrm{d} x \] Fourier 逆变换公式并不是通过定义得到, 而是根据 Fourier 逆定理推导得到: \[ f(x) = \int_{\mathbb{R}^d} \hat f(\xi) e^{i2\pi x \cdot \xi} ~\mathrm{d} \xi \] 上面例子的好处是不需要在变换公式的前面引入额外的系数. 接下来, 我们将根据这一公式, 利用积分变换, 得到不同形式下一致的 Fourier 变换和逆变换公式.
在《学术作为一种志业》演讲中，韦伯谈到了个性（Persönlichkeit），并与流行观念中的个人体验（Erleben）进行辨析：
今天我们在每一个街角和每一份杂志里，都可看到这种偶像崇拜。这些偶像就是「个性」和「个人体验」。两者有着密切的联系，占上风的想法是，后者就等于前者并隶属于前者。人们不畏困苦，竭力要「有所体验」，因为这就是「个性」应有的生活风格，如果没有成功，至少也要装成有这种天纵之才的样子。过去人们只把这称为「体会」或——用老百姓的德语说——「感觉」。我想，对于「个性」是什么东西，它意味着什么，人们已经有了更为恰当的理解。
《学术与政治》——韦伯，冯克利译本（以下简称冯本）
Bessel 方程定义为 \[ -\Delta u + u = f \] 为了求该方程的基本解, 方程右端非齐次项换成 Delta 函数 \(\delta\). 两边作 Fourier 变换, 就得到 \[ (1 + 4\pi^2 |\xi|^2) \widehat{B} = 1 \] 接下来要求解函数 \(\widehat{B}(\xi)\) 的 Fourier 逆变换, 又称为 Bessel 位势 \[ B(x) = \int_{\mathbb{R}^d} \frac{e^{i2\pi \xi \cdot x}}{1 + 4\pi^2 |\xi|^2} ~\mathrm{d}\xi \]