邱小伙的博客

这篇文章首先给出 Gâteaux 导数 与 Fréchet 导数的定义和符号，然后提供三个简单算例：（1）一维空间中的导数（2）二维空间的方向导数，并给出 Fréchet 导数的图像解释（3）无穷维空间中泛函的变分。

Gâteaux 导数 与 Fréchet 导数的定义

Gâteaux 导数的定义为 \[ D_{g} F( y;\eta ) \triangleq \lim_{\epsilon\to0} \frac{F( y+\epsilon \eta ) - F( y)}{\epsilon} = \left.\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \epsilon} F( y+\epsilon \eta )\right|_{\epsilon=0}. \] 由定义式可看到，如果将给定点处函数 \(F\) 的 Gâteaux 导数看作是关于 \(\eta\) 的新函数，那么 \(D_{g}F\) 与 \(F\) 属于同一个函数空间。当涉及到定义在无穷维函数空间中的泛函时，需要严格界定泛函定义域所属的函数空间，以及测试函数 \(\eta\) 所在的函数空间。此外，根据定义式，Gâteaux 导数是关于函数 \(\eta\) 的一阶齐次函数，也即

\[ D_{g}F(y;\alpha \eta) = \alpha D_{g}F(y;\eta), \quad \forall \alpha \in \mathbb{R}. \] 继续推广 Gâteaux 导数的定义到高阶情景，有 \[ D_{g}^{n} F( y;\eta ) = \left.\frac{\mathrm{d}^n }{\mathrm{d} \epsilon^n} F( y+\epsilon \eta )\right|_{\epsilon=0}. \]

Fréchet 导数是在点 \(y\) 处寻找一个有界线性映射 \(D_{F}: X\mapsto Y\)，其中 \(X\) 是被求导函数定义域所属的空间，\(Y\) 是被求导函数值域所属的空间。若关于点 \(y\)，对任意的 \(h\in X\)，存在有界线性映射 \(D_{F}(y)\)，使得 \[ \lim_{\|h\|\to 0} \frac{ \| F(y+h) - F(y) -D_{F}(y)\cdot h \| }{\|h\|} = 0, \] 那么函数在该点处 Fréchet 可微。

这篇文档整理了力学中常用的能量原理在三维空间小变形问题背景下的一般性表述，包含（1）容许空间的概念（2）虚功（虚位移/虚应力）原理，以及限制在弹性问题背景下的（3）最小势能和最小余能原理（4）Clapeyron 定理，和（5）Betti 互易定理。为使得这篇文档不会变得过分冗长，作者默认读者熟悉基本的变分概念和变分的计算方法，只给出能量原理的推导过程，没有给出具体的应用实例。以下给出写这篇文档时主要参考文献：

• Reddy, J N. Energy Principles and Variational Methods in Applied Mechanics.
• Dvorak, George. Micromechanics of Composite Materials.

容许空间

首先，这些原理的问题背景是区域 \(\Omega\) 上的边值问题（boundary value problem, BVP）。其边界条件为力边界和位移边界的组合，\(\partial \Omega = \partial\Omega_{t} \cup \partial\Omega_{u}\)，位移边界条件为 \(\boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_0\)，力边界条件为 \(\boldsymbol{t}=\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{n}\)。区域内满足平衡方程和边界条件： \[ \boldsymbol{\sigma} \cdot \nabla + \boldsymbol{f} = \boldsymbol{0},\quad \boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{n}=\boldsymbol{t}_{0} \text{ at } \partial_{t}\Omega, \quad \boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{0} \text{ at } \partial_{u}\Omega. \] 应变场满足协调方程： \[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2} ( \boldsymbol{u}\nabla + \nabla\boldsymbol{u} )\triangleq\nabla_{s}\boldsymbol{u}. \] 应力和应变之间由本构方程关联。在上述问题背景下，一些常见于原理的概念列举如下：

• 运动学允许的位移（kinematically admissible strain）：应变场 \(\boldsymbol{u}\) 满足 协调方程 和 位移边界条件。所有满足这些条件的应变场构成的集合为 \(\mathcal{E}_{a}\)。一个合法的应变场扰动由位移场的扰动给出，\(\delta\boldsymbol{\varepsilon}=\nabla_{s}\delta\boldsymbol{u}\)。位移场扰动\(\delta\boldsymbol{u}\) 所在的空间为 \[ \mathcal{U}_{0}^{a} = \{ \delta\boldsymbol{u} \mid \delta\boldsymbol{u}=\boldsymbol{0} \text{ at } \partial_{u}\Omega \}. \]

• 静力学允许的应力（statically admissible stress）：应力场 \(\boldsymbol{\sigma}\) 满足 平衡方程 和 力边界条件。所有满足这些条件的应力场构成的集合为 \(\mathcal{S}^{a}\)。对应的，一个合法的应力场扰动 \(\delta \boldsymbol{\sigma}\) 所在的空间为 \[ \mathcal{S}_{0}^{a} = \{ \delta\boldsymbol{\sigma} \mid \delta\boldsymbol{\sigma} \cdot \nabla=\boldsymbol{0}; \quad \delta\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{n}=\boldsymbol{0} \text{ at } \partial_{t}\Omega \}. \]

• 位移场和应力场一般还要满足连续性要求，\(\boldsymbol{u} \in H^{1}\) 和 \(\boldsymbol{\sigma}\)，\(\boldsymbol{\varepsilon}\in L^2\)。

这篇文章旨在解释为什么在计算变分时，在形式上与计算微分是如此相似。这需要在符号以及符号遵循的规则之外，理解微分或变分究竟是什么。如果将一阶微分或变分解释成各自对偶空间中的线性泛函，那么就可以通过线性泛函的运算规律，说明为什么微分和变分运算在形式上是一致的。

一阶变分的重定义

对如下泛函 \[ \begin{equation} \Pi(\boldsymbol{u}) = \int_{\Omega} F(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u},\nabla\boldsymbol{u}) \,\mathrm{d}V, \quad \boldsymbol{u}\in \mathcal{V}, \quad \mathcal{V} = \{ \boldsymbol{v} \mid \boldsymbol{v}\in H^1, \boldsymbol{v}|_{\partial\Omega_{u}} = \boldsymbol{v}_{0} \}, \label{eq:functional_def} \end{equation} \] 其关于 \(\boldsymbol{\eta}\) 的 Gâteaux 导数等于 \[ \begin{equation} D_{g}\Pi(\boldsymbol{u};\boldsymbol{\eta}) = \int_{\Omega} \frac{\partial F}{\partial \boldsymbol{u}} \cdot \boldsymbol{\eta} + \frac{\partial F}{\partial \nabla\boldsymbol{u}}:\nabla\boldsymbol{\eta} \,\mathrm{d}V. \label{eq:vari_1} \end{equation} \]

容易验证，式 \(\eqref{eq:vari_1}\) 在点 \(\boldsymbol{u}\) 处定义了测试函数空间 \(\mathcal{V}_{0}=\{ \boldsymbol{v} \mid \boldsymbol{v}\in H^1, \boldsymbol{v}|_{\partial\Omega_{u}} = \boldsymbol{0} \}\) 上的线性泛函，线性泛函组成的空间称为对偶空间，记作 \(\mathcal{V}_{0}^{*}\)。另一方面，根据变分的定义，该线性泛函其实就是泛函 \(\Pi\) 在点 \(\boldsymbol{u}\) 处的一阶变分： \[ \begin{equation} \delta\Pi(\boldsymbol{u}) = \int_{\Omega} \frac{\partial F}{\partial \boldsymbol{u}} \cdot \delta\boldsymbol{u} + \frac{\partial F}{\partial \nabla\boldsymbol{u}}:\nabla\delta\boldsymbol{u} \,\mathrm{d}V = D_{g}\Pi(\boldsymbol{u};\delta\boldsymbol{u}). \label{eq:vari_def} \end{equation} \]

因此，泛函在点 \(\boldsymbol{u}^{*}\) 处取极值的必要条件，也即其一阶变分等于零：\(\delta\Pi =0\)，与之等价的另一种表述是：泛函在点 \(\boldsymbol{u}^{*}\) 处的 Gâteaux 导数是对偶空间 \(\mathcal{V}_{0}^{*}\) 中的零元素。以上提供了另一种理解函数导数的思路：除了将导数（单变量函数）、方向导数（多变量函数）或变分理解为在原定义域上的新函数之外，还可以理解为在每一个导数有定义的点处定义了对应的线性泛函，并写成了微分或变分的形式。例如对于多变量函数 \(f(x,y,z)\)，微分表达式为

有限元离散后，要求节点处内力与外力平衡，\(\boldsymbol{\mathsf{f}}^{\mathrm{int}}=\boldsymbol{\mathsf{f}}^{\mathrm{ext}}\)。其中，内力可由刚度矩阵 \(\boldsymbol{\mathsf{K}}\) 和节点自由度列阵 \(\boldsymbol{\mathsf{d}}\) 给出，最终得到离散后的平衡方程： \[ \begin{equation} \boldsymbol{\mathsf{K}} \boldsymbol{\mathsf{d}} = \boldsymbol{\mathsf{f}}^{\mathrm{ext}}. \end{equation} \] 除平衡方程之外，节点之间一般还需满足若干运动学约束： \[ F_{k}( \boldsymbol{d}_{a}, \ldots ) = \boldsymbol{0}, \quad k=1,\ldots \] 当上述运动学约束只与单个节点 \(\boldsymbol{d}_{a}\) 的自由度相关时，此时等价于在该节点处施加位移边界条件。当运动学约束与多个节点相关时，此时称该约束为多点约束。由于这些运动学约束的存在，刚度矩阵 \(\boldsymbol{\mathsf{K}}\) 一般不是满秩矩阵，需要在施加约束之后才能唯一定解节点位移。施加位移边界条件 (单点约束) 可直接消除刚度矩阵对应自由度编号的行和列，而施加多点约束一般有如下三种方式：(1) 主从节点法 (2) 罚函数法 和 (3) 拉格朗日乘子法。

主从节点法是将多点约束直接代入到线性方程组中，消除从节点自由度。虽然该方法思路简单，但由于

1. 确定主从节点对的方案并不唯一，并且很难找到一个通用的算法，在任意给定的约束方程组中确定正确约束数量的主从节点对;
2. 施加约束需要对刚度矩阵的元素进行调整，移动或删除操作，这可能会在刚度矩阵按照稀疏矩阵存储时遇到困难;
3. 该方法只能施加线性约束条件,

所以主从节点法在通用性方面远不如 罚函数法 或 拉格朗日乘子法。不过在针对特定问题时 (例如，求解在周期性边界条件约束下单胞内的线弹性问题)，多点约束的形式较单一，所以仍可以找到一套系统的算法，确定问题中的主从节点对和高效调整刚度矩阵。

主从节点法

这篇文档记录作者常用且反复查找的与 Abaqus 相关的命令和操作。

ABAQUS 命令行

以下列举我常用的 ABAQUS 命令行。

提交作业

编译子程序

空间坐标下的守恒方程可通过输运定理获得，而对于物质坐标下的守恒方程，通过积分参数变换的方式获得。因此在本文中，首先陈述微元在不同参数表示下的变换关系，然后再根据空间坐标下的守恒方程，通过参数变换，得到物质坐标下的守恒方程。

微元的参数变换关系

以下分别给出线微元、体微元和面微元的参数变换关系。线微元可通过变形梯度得到 \[ \boxed{ \mathrm{d} x = F \cdot \mathrm{d} X, \quad \mathrm{or} \quad \mathrm{d} X = F^{-1} \cdot ~\mathrm{d}X } \tag{1} \]

线微元建立起参数 \(X \leftrightarrow x\) 邻域的仿射变换关系 \(F\)。对于仿射变换，体微元通过 \(F\) 的行列式相关联，定义 \(J \triangleq \det F\)，那么 \[ \boxed{ \mathrm{d} v = J \mathrm{d} V, \quad \mathrm{or} \quad \mathrm{d} V = \frac{1}{J} ~\mathrm{d} v } \tag{2} \]

而参考构型和当前构型中的面微元分别定义为 \[ \mathrm{d} A \triangleq N ~\mathrm{d} \Sigma, \quad \mathrm{d} a \triangleq n ~\mathrm{d} \sigma \] 式中，\(N\) 和 \(n\) 表示面微元的法向方向，\(\mathrm{d} \Sigma\) 和 \(\mathrm{d} \sigma\) 表示面微元面积大小。考虑参考构型中的两段线微元\(~\mathrm{d} X^1\) 和\(~\mathrm{d}X^2\)，作为面微元的两条边，因此，参考构型中的面微元可以表示为 \[ \mathrm{d} A = \mathrm{d} X^1 \times ~\mathrm{d} X^2 \] 变形后，面微元 \(\mathrm{d} A\) 变形为 \(\mathrm{d} a\)，组成 \(\mathrm{d} a\) 的两边分别为 \(\mathrm{d} x^1\) 和 \(\mathrm{d} x^2\)： \[ \mathrm{d} a = \mathrm{d}x^1 \times \mathrm{d}x^2 = (F ~\mathrm{d}X^1) \times (F ~\mathrm{d}X^2) \]

质量守恒

考虑空间坐标下的控制体 \(V\)，在 \(\delta t\) 时间内，流出控制体 \(V\) 的质量为 \[ \mathrm{d} m = \delta_t\int_{\partial V} \rho v\cdot n ~\mathrm{d}S + \mathcal{O}(\delta t^2) \] 控制体在 \(t+\delta t\) 时刻的质量为 \[ m_V(t+\delta t) = \int_{V} \rho(x,t+\delta t) ~\mathrm{d}x \] 质量守恒的表述为：在控制体的质量改变，只能通过质量进出控制体引起。因此有 \[ m_{V}(t + \delta t) = m_{V}(t) - \mathrm{d} m \Rightarrow m_{V}(t + \delta t) - m_{V}(t) + \mathrm{d} m = 0 \] 两边同除 \(\delta t\)，并令 \(\delta t \rightarrow 0\)，就得到 \[ \int_{V} \frac{\partial \rho}{\partial t} ~\mathrm{d}x + \int_{\partial V} \rho v\cdot n ~\mathrm{d}S = 0 \] 再应用散度定理，就得到 \[ \int_{V} \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho v) ~\mathrm{d}x = 0 \] 又因为 \(V\) 是任意选取的，所以有 \[ \boxed{ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho v) = 0 } \tag{1} \] 如果材料不可压缩，那么，无论是物质坐标下，还是空间坐标下的密度，都是恒定不变的常数。因此，根据式 (1) 有 \[ J \equiv 1 \] 同时为了保证质量守恒，又不能改变物质的密度，因此必须对速度场进行约束: \[ \nabla \cdot v = 0 \]

输运定理

设想一个包裹着一团物质的曲面 \(\partial B\)，当材料变形时，曲面也在不断地变形。在当前构型中，设由该曲面包裹的物质区域为 \(B\)。对该区域的物理量(的质量密度) \(\phi\) 进行积分: \[ \Phi_{B}(t) = \int_{B} \rho \phi ~\mathrm{d} x \] 与此同时，在当前构型中考虑与 \(B\) 重合的控制体 \(V\)，对上式积分项求偏导数后积分: \[ \int_{V} \frac{\partial (\rho \phi)}{\partial t} ~\mathrm{d}x \] \(\Phi\) 在控制体 \(V\) 中的增加量，等于物质面 \(B\) 中 \(\Phi\) 的增加量，再加上流进 \(V\) 的 \(\Phi\)，写成公式为 \[ \int_{V} \frac{\partial (\rho \phi)}{\partial t} ~\mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d}~}{\mathrm{d} t} \int_{B} \rho \phi ~\mathrm{d}x - \int_{\partial V} \rho \phi v \cdot n ~\mathrm{d} S \] 应用散度定理，上式就可以写成 \[ \frac{\mathrm{d}~}{\mathrm{d} t} \int_{B} \rho \phi ~\mathrm{d}x = \int_{V} \frac{\partial (\rho \phi)}{\partial t} + \mathrm{div}(\rho \phi v) ~\mathrm{d} x \tag{2} \] 观察式 (2)，可以看到，等式左端是物质团 \(B\) 关于时间的变化率，等式右端是关于空间区域 \(V\) 的积分，因此，输运定理将物质团变化率表述为为空间坐标的形式。需要指出的是，输运定理并不是守恒定律，但确实可以通过质量守恒进行化简。式 (2) 右端项可以展开为 \[ \int_{V} \frac{\partial (\rho \phi)}{\partial t} + \mathrm{div}(\rho \phi v) ~\mathrm{d} x = \int_{V} \rho \frac{\partial \phi}{\partial t} + \rho v \cdot \nabla \phi + \phi \left( \frac{\partial \rho}{\partial t} + \mathrm{div}(\rho v) \right) ~\mathrm{d} x \\ = \int_{V} \rho \left( \frac{\partial \phi}{\partial t} + v \cdot \nabla \phi \right) ~\mathrm{d} x = \int_{V} \rho \frac{\mathrm{D} \phi}{\mathrm{D} t} ~\mathrm{d} x \] 所以，式 (2) 可以通过质量守恒 (1) 化简为 \[ \boxed{ \frac{\mathrm{d}~}{\mathrm{d} t} \int_{B} \rho \phi ~\mathrm{d}x = \int_{V} \rho \frac{\mathrm{D} \phi}{\mathrm{D} t} ~\mathrm{d} x } \tag{3} \] 可见物质团 \(B\) 积分号外的关于时间的导数，移动到控制体积分中对物理量 \(\phi\) 的物质导数。

Remark：应用输运定理推导质量守恒的空间表达形式

围绕在物质曲面 \(\partial B\) 的物理量 \(\phi\) 如果等于恒定的常数 \(1\)，那么 \(\phi\) 在空间或者物质坐标下的表达形式是相同的。定义关于时间的函数 \(m(t)\) 为 \[ m(t) \triangleq \int_{B} \rho(x,t) ~\mathrm{d}x \] 质量守恒定律声明，物质团的质量，无论物质如何变形，总是恒定不变，因此 \[ m(t) \equiv m(0) = \int_{B_0} \rho(X,0) ~\mathrm{d}X \] 因此 \[ \frac{\mathrm{d}~}{\mathrm{d} t} \int_{B} \rho ~\mathrm{d}x \equiv 0 \] 代入式 (2) 中得到 \[ \int_{V} \frac{\partial \rho}{\partial t} + \mathrm{div}(\rho v) ~\mathrm{d} x = 0 \]

首先，先定义梯度，散度和旋度的概念，并特别强调对于高阶张量的定义，这将规范使用的 notation。然后，以二维空间为例，引出散度定理，Stokes 公式和 Gauss 公式。最后，再给出一般的张量场中这三种公式的形式。

梯度、散度和旋度

引入记号 \(\nabla\)，\(\nabla \cdot\)，\(\nabla \times\)，分别表示梯度，散度和旋度。首先介绍这三种运算最简单的情况，然后再推广到一般的张量空间当中。

对标量场的梯度运算，得到的是一个向量场： \[ \nabla \phi = \frac{\partial \phi\ }{\partial x_i} e_i \] 对向量场的散度运算，得到的是一个标量场： \[ \nabla \cdot v = \frac{\partial v_i}{\partial x_i} \] 对向量场的旋度运算，得到的仍是一个向量场： \[ \nabla \times v = \begin{vmatrix} i & j & k \\ \dfrac{\partial \ }{\partial x_1} & \dfrac{\partial \ }{\partial x_1} & \dfrac{\partial \ }{\partial x_1} \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} \] 可以看到，上述运算分别将原本张量的阶数提升(梯度)或下降(散度)一阶，或者保持不变(旋度)。推广到高阶之后情况也是相同，但需要特别强调的是，因为高阶张量 (二阶及以上) 引入了指标的排序，所以即使所有分量所构成的集合相同，排列不同，也是不同的张量。

定义高阶张量的梯度运算为 \[ \boxed{ \nabla B \triangleq e_k \otimes \frac{\partial B}{\partial x_k}, \quad B \nabla \triangleq \frac{\partial B}{\partial x_k} \otimes e_k } \tag{1} \] 例如，向量场 \(v\) 的梯度为二阶张量 \[ \nabla v = v_{j,i} e_{i} \otimes e_{j}, \quad v \nabla = v_{i,j} e_{i} \otimes e_{j} \] 所以 \[ \nabla v = (v \nabla)^{\top} \] 定义张量的散度运算为 \[ \boxed{ \nabla \cdot B \triangleq e_k \cdot \frac{\partial B}{\partial x_k}, \quad B \cdot \nabla \triangleq \frac{\partial B}{\partial x_k} \cdot e_k } \tag{2} \] 例如，二阶张量场 \(\sigma\) 的散度为向量场 \[ \nabla \cdot \sigma = \sigma_{ij,i} e_j , \quad \sigma \cdot \nabla = \sigma_{ij,j} e_i \] 定义张量的旋度运算为 \[ \boxed{ \nabla \times B \triangleq e_k \times \frac{\partial B}{\partial x_k}, \quad B \times \nabla \triangleq \frac{\partial B}{\partial x_k} \times e_k } \tag{3} \]

在不同数学文章中，使用的 Fourier 变换可能会在积分前的系数或积分项的指数有所差异，但是，Fourier 逆变换公式必须与定义的变换公式保持一致，才能满足 Fourier 逆定理。这篇文档希望给出具有 Fourier 变换和逆变换公式一致性的系数所满足的约束关系，减小在遇到不同的 Fourier 变换定义时的困扰。

首先先确定一种 Fourier 变换方式，之后在通过积分变换得到其它定义下的变换公式。定义在 \(\mathbb{R}^{d}\) 空间中，并满足 Fourier 逆定理的一种变换方式如下： \[ \hat{f}(\xi) = \mathcal{F}\circ f(\xi) \triangleq \int_{\mathbb{R}^d} f(x) e^{-i2\pi x \cdot \xi} \,\mathrm{d} x, \quad f(x) = \mathcal{F}^{-1}\circ \mathcal{F}\circ f(x) = \int_{\mathbb{R}^d} \hat{f}(\xi) e^{i2\pi x \cdot \xi} \,\mathrm{d} \xi. \] 引入待定系数 \(a\) 和 \(b\)，给出另一种 Fourier 变换的定义 \(\tilde{\mathcal{F}}\) 为 \[ \tilde{\mathcal{F}}\circ f(\xi) \triangleq b\int_{\mathbb{R}^d} f(x) e^{-i2\pi a x \cdot \xi} \,\mathrm{d} x = b\hat{f}(a\xi), \] 对应的 Fourier 逆变换公式为 \[ f(x) = \tilde{\mathcal{F}}^{-1} \circ \tilde{\mathcal{F}}\circ f(x) = b b' \int_{\mathbb{R}^d} \hat{f}(a\xi) e^{i 2\pi a x \cdot \xi} ~\mathrm{d} \xi. \] 作换元 \(a\xi = \eta\)，那么 \(a^d\, \mathrm{d} \xi = \mathrm{d} \eta\)，代入公式中得到 \[ f(x) = \frac{b b'}{a^{d}} \int_{\mathbb{R}^d} \hat{f}(\eta) e^{i 2\pi x \cdot \eta} \,\mathrm{d} \eta = \frac{b b'}{a^{d}} f(x), \] 由此得到逆变换公式的系数 \(b'\) 和变换公式之间系数 \(a\) 和 \(b\) 的关系为： \[ \begin{equation}\label{eq:x} b' = a^{d}/b. \end{equation} \] 上式表明，满足 Fourier 积分逆定理的系数不仅和系数 \(a\) 和 \(b\) 相关，一般还和 Fourier 变换定义的空间维度 \(d\) 相关。在一维情景下，如果选取 Fourier 变换公式的系数等于 \[ a = \frac{1}{2\pi},\quad b = 1, \] 那么对应的 Fourier 变换和逆变换公式为 \[ \hat{f}(\xi) = \mathcal{F}\circ f(\xi) \triangleq \int_{\mathbb{R}} f(x) e^{-i x \xi} \, \mathrm{d} x , \quad f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{\mathbb{R}} \hat{f}(\xi) e^{i x \xi} ~\mathrm{d} \xi. \] 而在三维情景下，Fourier 变换和逆变换公式为 \[ \hat{f}(\xi) = \mathcal{F}\circ f(\xi) \triangleq \int_{\mathbb{R}^3} f(x) e^{-i x \cdot \xi} \,\mathrm{d} x, \quad f(x) = \frac{1}{(2\pi)^3} \int_{\mathbb{R}^3} \hat f(\xi) e^{i x \cdot \xi} ~\mathrm{d} \xi. \] 如果希望 Fourier 变换与逆变换公式前的系数相等，也即 \(b = b'\)，那么系数 \(a\) 和 \(b\) 之间的关系为 \[ b = a^{d/2}. \] 如果不希望 Fourier 变换和逆变换中的系数和维度 \(d\) 显式相关，那么可令 \(a=1\)。

看到韦伯在《学术作为一种志业》关于个性（Persönlichkeit）和体验（Erleben）的论述，深得我心，因此不惜找到原文和不同的译本对照阅读。其原文如下（原文未分段，以下为了讨论的方便，分成三段）：

Nun: ob jemand wissenschaftliche Eingebungen hat, das hängt ab von uns verborgenen Schicksalen, außerdem aber von „Gabe“. Nicht zuletzt auf Grund jener zweifellosen Wahrheit hat nun eine ganz begreiflicherweise gerade bei der Jugend sehr populäre Einstellung sich in den Dienst einiger Götzen gestellt, deren Kult wir heute an allen Straßenecken und in allen Zeitschriften sich breit machen finden. Jene Götzen sind: die „Persönlichkeit“ und das „Erleben“. Beide sind eng verbunden: die Vorstellung herrscht, das letztere mache die erstere aus und gehöre zu ihr. Man quält sich ab, zu „erleben“, – denn das gehört ja zur standesgemäßen Lebensführung einer Persönlichkeit –, und gelingt es nicht, dann muß man wenigstens so tun, als habe man diese Gnadengabe. Früher nannte man dieses „Erlebnis“ auf deutsch: „Sensation“. Und von dem, was „Persönlichkeit“ sei und bedeute, hatte man eine – ich glaube – zutreffendere Vorstellung.

Verehrte Anwesende! „Persönlichkeit“ auf wissenschaftlichem Gebiet hat nur der, der rein der Sache dient. Und nicht nur auf wissenschaftlichem Gebiet ist es so. Wir kennen keinen großen Künstler, der je etwas anderes getan hätte, als seiner Sache und nur ihr zu dienen. Es hat sich, soweit seine Kunst in Betracht kommt, selbst bei einer Persönlichkeit vom Range Goethes gerächt, daß er sich die Freiheit nahm: sein „Leben“ zum Kunstwerk machen zu wollen. Aber mag man das bezweifeln, – jedenfalls muß man eben ein Goethe sein, um sich das überhaupt erlauben zu dürfen, und wenigstens das wird jeder zugeben: unbezahlt ist es auch bei jemand wie ihm, der alle Jahrtausende einmal erscheint, nicht geblieben.

Auf dem Gebiet der Wissenschaft aber ist derjenige ganz gewiß keine „Persönlichkeit“, der als Impresario der Sache, der er sich hingeben sollte, mit auf die Bühne tritt, sich durch „Erleben“ legitimieren möchte und fragt: Wie beweise ich, daß ich etwas anderes bin als nur ein „Fachmann“, wie mache ich es, daß ich, in der Form oder in der Sache, etwas sage, das so noch keiner gesagt hat wie ich.

在冯克利的译本中，这几段话翻译为

今天我们在每一个街角和每一份杂志里，都可看到这种偶像崇拜。这些偶像就是「个性」和「个人体验」。两者有着密切的联系，占上风的想法是，后者就等于前者并隶属于前者。人们不畏困苦，竭力要「有所体验」，因为这就是「个性」应有的生活风格，如果没有成功，至少也要装成有这种天纵之才的样子。过去人们只把这称为「体会」或——用老百姓的德语说——「感觉」。我想，对于「个性」是什么东西，它意味着什么，人们已经有了更为恰当的理解。

女士们，先生们！在科学的领地，个性是只有那些全心服膺他的学科要求的人才具备的，不唯在科学中如此。我们不知道有哪位伟大的艺术家，他除了献身于自己的工作，完全献身于自己的工作，还会做别的事情。即使具有歌德那种层次的人格，如果仅就他的艺术而言，如果他任性地想把自己的「生活」也变成一件艺术品，后果会不堪设想。若是有人对此有所怀疑，那就让他至少把自己当作歌德试试看吧。人们至少会同意，即使像他这种千年一遇的人物，这样的任性也要付出代价。

《学术与政治》——韦伯，冯克利译本

在钱永祥的译本中，这几段话翻译为

物主代词和人称代词

物主代词除了要记住词干随人称的变化形式之外，还要注意词尾的变化，这与冠词的词尾变化是一样的。

不定代词 man 和 ein-

不定代词 man 类似于 “人们”“人家，虽然表示一群人的概念，但是动词变位仍是第三人称单数。man 是有格的变化的：

z.B. Bei Frau Kant gibt es so viele Verbote. Man darf fast ganz nichts machen. Das geht einem ganz schön auf die Nerven.

加第三格补足语的常见动词

这其中还有一类特殊的动词，是物作为主语，因此单独列出来：

以及类似结构的常用表达方式：

• Es tut mir leid.
• Wie geht es Ihnen?

支配双宾语的动词

不规则动词的过去时与过去分词词尾变化

在介绍不规则动词变位之前，首先介绍动词过去时与过去分词随人称的词尾变化。（第二）过去分词不会再随人称发生变换，但是不定式和过去时的动词的词尾还是会随人称变化的，过去时的词尾变化一般为

不定式的词尾变化与过去时稍有不同，这体现在第一和第三人称单数情景。 不定式第一人称单数 (ich) 词干后加 -e，第三人称单数 (er/sie/es) 词干后加 -t，而过去时的第一和第三人称单数词尾不加任何东西，这有些类似于情态动词的词尾变化。（情态动词的现在时也是第一第三人称单数词尾相同）

不规则动词变位分组

按照不定式-过去时-过去分词中元音的变化规律，一共分成如下七组动词：

主要参考文献如下：

• 德语语法活学活用，Friederike Jin, Ute Voß
• 实用英语德语比较语法，芦力军，外研社

只跟第三格的介词

只跟第四格的介词

关于 Hause 的固定搭配：

这篇文档给出 Laplace 和热传导方程的基本解，以及多种推导方式。这篇文档主要参考明平兵老师在学校开设应用偏微分方程的课程讲义。

Laplace 方程的基本解

这篇文档整理了一些复积分中的定理和公式，主要参考文献是 Gilbert Strang，Introduction to applied mathematics。

Cauchy 定理

首先计算一些简单的复积分例子热一下身：

例 1

函数 \(f(z) = z^2\) 在圆 \(\odot:z=Re^{i \theta}\) 上的积分为 \[ \int_{\odot} f(z) ~\mathrm{d}z = \int_{0}^{2\pi} R^2 e^{i2\theta} i R e^{i\theta} ~\mathrm{d}\theta = \frac{R^3}{3} \left. e^{i3\theta}\right|_{0}^{2\pi} = 0. \]