常微分方程唯一性定理的证明

常微分方程的唯一性定理

对于如下常微分方程: \[ \left\{ \begin{aligned} &\dot{x} = f(t,x)\\ &x(0) = x_0 \end{aligned} \right. \] 如果 \(f(t,x)\) 关于 \(x\)​ Lipschitz 连续, 那么方程的解唯一.

Lipschitz 连续的必要性可以在方程证明中看到, 所以我们在证明过程中再提出 Lipschitz 条件的具体形式.

首先假设, 存在 \(x_1\), \(x_2\) 两个解满足命题中给出的微分方程和初值条件, 那么有 \[ \begin{aligned} x_1(t) = x_0 + \int_0^t f(s,x_1(s)) \mathrm{d} s\\ x_2(t) = x_0 + \int_0^t f(s,x_2(s)) \mathrm{d} s \end{aligned} \]

两式相减, 两端取绝对值得到

\[ \vert x_1(t) - x_2(t) \vert = \int_0^t \vert f(s,x_1(s)) - f(s,x_2(s)) \vert \mathrm{d} s \]

我们希望能得到对方程左端项的估计, 而 Lipschitz 条件要求, 对任意的 \(x,y\in \mathbb{R}_n\):

\[ \vert f(t,x) -f(t,y) \vert \leq L |x-y| \]

\(L\) 是 Lipschitz 常数, 不依赖于 \(x,y,t\). 这样我们就得到了关于 \(r(t) = |x_1(t) - x_2(t)|\) 的积分不等式: \[ r(t) \leq L \int_{0}^{t} r(s) \mathrm{d} s \]

上述不等式又称 Gronwall 不等式, 是对 \(r(t)\) 最坏情况的指数估计. 如果我们有

\[ f(t) \leq C_0 + \int_0^t f(s) g(s) \mathrm{d} s, \quad C_0 \geq 0, f(t), g(t) \geq 0 \]

那么 \[ f(t) \leq C_0 e^{\int_0^t g(s) \mathrm{d} s} \]

在我们的证明中, \(C_0 = 0\), 所以 \[ 0 \leq r(t) \leq 0 \]

这就得到 \(r(t) \equiv 0\), 所以 \(x_1(t) \equiv x_2(t)\).