行列式相关的概念

对于 \(n\) 阶行列式 \(|A|\), 去掉 \(i\) 行和 \(j\) 列得到的 \(n-1\) 阶行列式记作余因式 \(c_{ij}\), 行列式 \(|A|\) 的代数余子式定义为 \[ m_{ij} \triangleq (-1)^{i+j} c_{ij} \] 行列式可以按照行或者列展开为低阶行列式的线性组合: \[ |A| = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} m_{ij} = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} m_{ij} \] 此外, 如果选取不同的行(列), 那么展开的线性组合总是等于 0: \[ \sum_{j=1}^{n} a_{ij} m_{kj} = 0, \quad i \neq k \\ \sum_{i=1}^{n} a_{ij} m_{ik} = 0, \quad j \neq k \] 因此, 可以将上述两个结论通过 \(\delta_{ij}\) 总结成一个公式: \[ a_{ki} m_{kj} = a_{ik} m_{jk} = |A| \delta_{ij} \] 将上式写成矩阵形式为 \[ A M^{\top} = M^{\top} A = |A| I \] 通常将 \(M^{\top}\) 定义为矩阵 \(A\) 的伴随 (adjugate) 矩阵, \(M\) 称为 cofactor 矩阵: \[ \mathrm{adj}~A \triangleq M^{\top} \] 注意到, 如果矩阵 \(A\) 可逆, 那么伴随矩阵与矩阵的逆之间的关系为 \[ A^{-1} = \frac{1}{|A|}\mathrm{adj}~A = \frac{1}{|A|} M^{\top} \]

[!NOTE]

矩阵 \(A\) 的逆可以通过伴随矩阵表示, 但即使矩阵 \(A\) 不可逆, \(A\) 的伴随矩阵同样存在

[!TIP]

克莱默法则的证明

对于线性方程组 \[ A x = b \] 并且矩阵 \(A\) 可逆. 那么 \[ x = A^{-1} b = \frac{1}{|A|} M^{\top} b \] 写成分量的形式为 \[ x_i = \frac{1}{|A|} m_{ji} b_j \] 若构造矩阵 \(A^{i}\), 使得矩阵第 \(i\) 列替换为向量 \(b\), 并按照第 \(i\) 列展开, 就得到 \[ |A^{i}| = \sum_{j} b_j m_{ji} \] 因此有 \[ x_{i} = \frac{|A^i|}{|A|} \]

对于矩阵 \(A\) 的特征多项式 \(A(\lambda)\) \[ A(\lambda) \triangleq |\lambda I - A| \] 是关于 \(\lambda\) 的 \(n\) 次多项式, 可以证明, 上式的前两项为 \[ A(\lambda) = \lambda^{n} -\mathrm{tr}A~\lambda^{n-1} + \cdots \] 因此, 如果 \(\|A\| \ll 1\), 那么 \[ |I + A| \sim 1 + \mathrm{tr}A \]