逻辑命题视角下的极限 连续与一致连续

发表于 更新于 分类于 阅读次数：

极限的定义, 以及否定形式

关于序列 \(\{a_n\}\) 的极限命题为:

对任意的 \(\varepsilon > 0\), 存在 \(N \in \mathbb{N}\), 当 \(n>N\) 时, \(|a_n - a| < \varepsilon\)

我们用含参数的陈述表示上述命题的后半段:

\[ S(N, \varepsilon): n > N \Rightarrow |a_n - a| < \varepsilon \]

当给定 \((N, \varepsilon)\) 时, 就可以确定该命题的真伪. 极限定义就是对上述含参数的陈述添加量词进行修饰:

\[ a_n \rightarrow a \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N} \quad n > N \Rightarrow |a_n - a| < \varepsilon \]

注意, \(\forall \varepsilon >0\)  与 \(\exists N \in \mathbb{N}\) 不能交换顺序, 也即含量词陈述的命题, 量词的顺序不能随意改变, 例如, 如果修改成

\[ \exists N \in \mathbb{N}, \forall \varepsilon > 0 \quad n > N \Rightarrow |a_n - a| < \varepsilon \]

那么只有常数序列才能存在极限, 这样的定义就是平凡的了.

注意到, 含量词的命题可以等价为:

  • \(\forall x \in X \quad S(x) \Longleftrightarrow \bigwedge_{x \in X} S(x)\);

  • \(\exists x \in X \quad S(x) \Longleftrightarrow \bigvee_{x \in X} S(x)\).

式中, \(\wedge\) 表示命题关系“与” (AND), \(\vee\) 表示命题关系“或”(OR). 当否定含量词的命题时, 根据 de Morgan 定律: \[ (B~\cup~C)^{\prime} = B^{\prime}~\cap~C^{\prime}\\ (B~\cap~C)^{\prime} = B^{\prime}~\cup~C^{\prime} \]

  • \(\sim(\forall x \in X \quad S(x)) \Longleftrightarrow \bigvee_{x \in X}\sim S(x) \Longleftrightarrow \exists x \in X \quad \sim S(x)\);

  • \(\sim(\exists x \in X \quad S(x)) \Longleftrightarrow \bigwedge_{x \in X} \sim S(x)\Longleftrightarrow \forall x \in X \quad \sim S(x)\).

注意到, 含参数陈述命题的取值集合 \(X\) 不会发生改变 (比如取该集合的补集). 由此我们可以得到极限命题的否定形式:

\[ \exists \varepsilon > 0, \forall N \in \mathbb{N} \quad n > N \wedge |a_n - a| \geq \varepsilon \]

该命题后半部分可以合并为:

\[ \exists \varepsilon > 0, \forall N \in \mathbb{N} \quad |a_N - a| \geq \varepsilon \]

连续与一致连续

我们用逻辑语言定义一致连续: 给定函数 \(f: A \mapsto \mathbb{R}^m\), 定义域 \(A \subset \mathbb{R}^n\) :

\[ \forall \varepsilon > 0, \textcolor{red}{\exists \delta > 0}, \forall y \in A, \forall x \in A \quad \|x-y\|\leq\delta \Rightarrow \|f(x) - f(y)\| \leq \varepsilon \]

而函数 \(f\) 在 \(A\) 上连续的定义为

\[ \forall \varepsilon > 0, \forall y \in A, \textcolor{red}{\exists \delta > 0}, \forall x \in A \quad \|x-y\|\leq\delta \Rightarrow \|f(x) - f(y)\| \leq \varepsilon \]

第二个定义中, 存在量词变量 \(\delta\) 的选择依赖于之前全称量词变量 \(y\), 这一点改变使得第一个定义和第二个定义并不是等价的 (虽然看起来只是命题叙述的顺序发生了变化). 事实上, 第一个命题蕴含第二个命题:

\[ f~\text{一致连续} \Rightarrow f~\text{连续} \]

证明上述问题是乏味的, 甚至像是在玩弄文字游戏, 我们不妨做一点别的事情, 比如, 将定义连续的命题中的存在量词 \(\exists \delta > 0\) 继续后移:

\[ \forall \varepsilon > 0, \forall y \in A, \forall x \in A, \textcolor{red}{\exists \delta > 0} \quad \|x-y\|\leq\delta \Rightarrow \|f(x) - f(y)\| \leq \varepsilon \]

该命题本身就构成了重言式, 也就是说, 该命题一直为 true. 证明过程如下: 对任意给定的 \(\varepsilon, x, y\), 取 \(\delta > \|x-y\|\), 根据蕴含命题 \(p \Rightarrow q\) 的真值表, 若 \(p\) 为 false, 则 \(p \Rightarrow q\) 恒为 true, 无论 \(q\) 怎样取值. 因此, \(\|x-y\|\leq\delta \Rightarrow \|f(x) - f(y)\| \leq \varepsilon\) 恒为 true.

假如我们将第三个定义称为”弱连续”, 那么, 根据上述论证, 所有的函数都是”弱连续”的, 因此, “弱连续“ 就不能够将某一类函数与其它函数区分开. “弱连续“ 的定义是平凡的.

现在, 如果我们将存在量词移到命题的最前端:

\[ \textcolor{red}{\exists \delta > 0}, \forall \varepsilon > 0, \forall y \in A, \forall x \in A \quad \|x-y\|\leq\delta \Rightarrow \|f(x) - f(y)\| \leq \varepsilon \]

并称满足这个定义的函数为”强一致收敛”函数, 可以看到, “强一致收敛“函数只能是常值函数, 因此也是一致收敛函数.综上, 我们有上述关于连续性命题的强弱关系: \[ f~\text{强一致连续} \Rightarrow f~\text{一致连续} \Rightarrow f~\text{连续} \Rightarrow f~\text{弱连续} \]