逻辑命题视角下的极限，连续与一致连续

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这篇文档旨在通过形式上的逻辑运算，理清一致连续和连续之间的逻辑包含关系。

极限的定义，以及否定形式

关于序列 \(\{a_n\}\) 的极限命题为:

对任意的 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(N \in \mathbb{N}\)，当 \(n>N\) 时，\(|a_n - a| < \varepsilon\)。

用含参数的陈述表示上述命题的后半段：

\[ S(N, \varepsilon): n > N \Rightarrow |a_n - a| < \varepsilon. \]

当给定 \((N, \varepsilon)\) 时，就可以确定该命题的真伪。极限定义就是对上述含参数的陈述添加量词进行修饰：

\[ a_n \rightarrow a. \iff \forall \varepsilon > 0,\, \exists N \in \mathbb{N},\,s.t.\, n > N \Rightarrow |a_n - a| < \varepsilon. \]

注意，\(\forall \varepsilon >0\)  与 \(\exists N \in \mathbb{N}\) 不能交换顺序，也即含量词陈述的命题，量词的顺序不能随意改变。例如，如果修改成

\[ \exists N \in \mathbb{N}, \forall \varepsilon > 0,\,s.t.\, n > N \Rightarrow |a_n - a| < \varepsilon, \]

那么只有常数序列才能存在极限，这样的定义就是平凡的了。注意到，含量词的命题可以等价为：

  • \(\forall x \in X \quad S(x) \Longleftrightarrow \bigwedge_{x \in X} S(x)\)

  • \(\exists x \in X \quad S(x) \Longleftrightarrow \bigvee_{x \in X} S(x)\)

式中，\(\wedge\) 表示命题关系“与” (AND)，\(\vee\) 表示命题关系“或” (OR)。当否定含量词的命题时，根据 de Morgan 定律： \[ (B~\cup~C)^{\prime} = B^{\prime}~\cap~C^{\prime}\quad (B~\cap~C)^{\prime} = B^{\prime}~\cup~C^{\prime}, \]

得到

  • \(\sim(\forall x \in X \quad S(x)) \Longleftrightarrow \bigvee_{x \in X}\sim S(x) \Longleftrightarrow \exists x \in X \quad \sim S(x)\)

  • \(\sim(\exists x \in X \quad S(x)) \Longleftrightarrow \bigwedge_{x \in X} \sim S(x)\Longleftrightarrow \forall x \in X \quad \sim S(x)\)

    注意到，含参数陈述命题的取值集合 \(X\) 不会发生改变。（比如取该集合的补集） 由此可以得到极限命题的否定形式：

\[ \exists \varepsilon > 0, \forall N \in \mathbb{N} \,s.t.\, n > N \wedge |a_n - a| \geq \varepsilon. \]

该命题后半部分可以合并为:

\[ \exists \varepsilon > 0, \forall N \in \mathbb{N} \,s.t.\, |a_N - a| \geq \varepsilon. \]

连续与一致连续

用逻辑语言定义一致连续: 给定函数 \(f: A \mapsto \mathbb{R}^m\)，定义域 \(A \subset \mathbb{R}^n\)：

\[ \forall \varepsilon > 0, \textcolor{red}{\exists \delta > 0}, \forall y \in A, \forall x \in A \,s.t.\, \|x-y\|\leq\delta \Rightarrow \|f(x) - f(y)\| \leq \varepsilon. \]

而函数 \(f\) 在 \(A\) 上连续的定义为

\[ \forall \varepsilon > 0, \forall y \in A, \textcolor{red}{\exists \delta > 0}, \forall x \in A \,s.t.\, \|x-y\|\leq\delta \Rightarrow \|f(x) - f(y)\| \leq \varepsilon. \]

第二个定义中，存在量词变量 \(\delta\) 的选择依赖于之前全称量词变量 \(y\)，这一点改变使得第一个定义和第二个定义并不是等价的 (虽然看起来只是命题叙述的顺序发生了变化). 事实上，第一个命题蕴含第二个命题：

\[ f~\text{一致连续} \Rightarrow f~\text{连续}. \]

证明上述问题是乏味的，甚至像是在玩弄文字游戏，不妨做一点别的事情。比如将定义连续的命题中的存在量词 \(\exists \delta > 0\) 继续后移：

\[ \forall \varepsilon > 0, \forall y \in A, \forall x \in A, \textcolor{red}{\exists \delta > 0} \,s.t.\, \|x-y\|\leq\delta \Rightarrow \|f(x) - f(y)\| \leq \varepsilon. \]

该命题本身就构成了重言式，也就是说，该命题一直为 true。证明过程如下: 对任意给定的 \(\varepsilon\)，\(x\) 和 \(y\)，取 \(\delta > \|x-y\|\)，根据蕴含命题 \(p \Rightarrow q\) 的真值表，若 \(p\) 为 false，则 \(p \Rightarrow q\) 恒为 true，无论 \(q\) 怎样取值。因此，\(\|x-y\|\leq\delta \Rightarrow \|f(x) - f(y)\| \leq \varepsilon\) 恒为 true。

假如将第三个定义称为”弱连续”，那么，根据上述论证，所有的函数都是”弱连续”的，因此，“弱连续“ 就不能够将某一类函数与其它函数区分开. “弱连续“ 的定义是平凡的。

现在，如果将存在量词移到命题的最前端：

\[ \textcolor{red}{\exists \delta > 0}, \forall \varepsilon > 0, \forall y \in A, \forall x \in A \,s.t.\, \|x-y\|\leq\delta \Rightarrow \|f(x) - f(y)\| \leq \varepsilon. \]

并称满足这个定义的函数为”强一致收敛”函数，可以看到，“强一致收敛“函数只能是常值函数，因此也是一致收敛函数。

综上，有上述关于连续性命题的强弱关系： \[ f~\text{强一致连续} \Rightarrow f~\text{一致连续} \Rightarrow f~\text{连续} \Rightarrow f~\text{弱连续}. \]