Gaussian 函数的 Fourier 变换与逆变换公式
这篇文档介绍一维和高维 Gaussian 函数 Fourier 变换公式的推导方法。首先考虑一维情景下 Gaussian 函数在 \(\mathbb{R}\) 上的积分：
\[ I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\pi x^2} \mathrm{d}x, \] 通过 “升一维” (replica trick) 的办法，上述一维空间中的积分转化到二维空间中的积分： \[ I^2 = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\pi x^2} \mathrm{d}x \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\pi y^2} \mathrm{d}y = \iint_{\mathbb{R}^2} e^{-\pi (x^2 + y^2)} \mathrm{d}x\mathrm{d}y. \] 再变换到极坐标系中，有 \(x^2 + y^2 = r^2\) 和 \(\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\)，得到 \[ I^2 = \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_{0}^{\infty} e^{-\pi r^2} r\mathrm{d}r = 1. \]
Remark
能够应用 replica trick 的积分项函数的形式是有限制的，详见Poisson’s remarkable calculation – a method or a trick?。具体的，如果函数 \(f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\) 满足如下关系 \[ f(x) f(y) = g(x^2 + y^2) h(y/x), \] 并且待选取的函数集合 \(g\) 和 \(h\) 是基本函数，那么函数 \(f\) 的形式只能是关于 \(x\) 的幂函数和 \(e^{x^2}\) 的乘积: \[ f(x) = A x^p e^{x^2}. \]
接下来，考虑一维情景 Gaussian 函数的 Fourier 变换： \[ \begin{equation}\label{eq:question} \widehat{e^{-\pi x^2}} = \int_{\mathbb{R}} e^{-\pi x^2} e^{-i 2\pi \xi x} ~\mathrm{d}x. \end{equation} \]
以下提供两种求解方法。第一种方法是使用换元， \[ \int_{\mathbb{R}} e^{-\pi(x^2 + 2i\xi x)} ~\mathrm{d}x = e^{ -\pi\xi^2} \int_{\mathbb{R}} e^{-\pi(x + i\xi)^2} ~\mathrm{d}x = e^{ -\pi\xi^2} \int_{L} e^{-z^2} ~\mathrm{d}z, \quad L = (-\infty+i\xi, +\infty + i\xi). \] 构造积分回路 \((-a+i\xi,\,a + i\xi,\,a,\,-a)\)，如图所示。可以证明当 \(a \rightarrow \infty\) 时，在 \((a,\,a+i\xi)\) ，\((-a,\,-a + i\xi)\) 上的积分等于 0，所以有 \[ \int_{L} e^{-z^2} ~\mathrm{d}z = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\pi x^2} \mathrm{d}x = 1. \] 最终得到 \[ \begin{equation}\label{eq:result} \widehat{e^{-\pi x^2}} = e^{-\pi \xi^2}. \end{equation} \]
第二种方法是使用分部积分，得到关于 \(\widehat{e^{-\pi x^2}}\) 的微分方程。引入新的函数记号 \(F(\xi) \triangleq \widehat{e^{-\pi x^2}}\)，再对式 \(\eqref{eq:question}\) 两边分别关于 \(\xi\) 求导数， \[ \begin{aligned} F'(\xi) &= \int_{\mathbb{R}} -i2\pi x e^{-\pi x^2} e^{- i 2\pi \xi x} ~\mathrm{d}x = \int_{\mathbb{R}} i e^{- i 2\pi \xi x} ~\mathrm{d}e^{-\pi x^2} \\ &= - \int_{\mathbb{R}} i e^{-\pi x^2} ~\mathrm{d}e^{- i 2\pi \xi x} + \underbrace{i e^{- i 2\pi \xi x} e^{-\pi x^2}|_{-\infty}^{+\infty}}_{=0} = -2\pi\xi F(\xi). \end{aligned} \] 上述微分方程的解为 \[ F(\xi) = F(0) e^{-\pi\xi^2}. \] 又因为 \(F(0) = I = 1\)，所以 \(\widehat{e^{-\pi x^2}} = e^{-\pi \xi^2}\)。高维情境下的 Gaussian 函数的 Fourier 变换可以根据指数的性质自然分解为一维 Fourier 变换的乘积：
\[ \widehat{e^{-\pi |x|^2}} = \int_{\mathbb{R}^d} e^{-\pi \sum x_i} e^{-i2\pi \xi \cdot x} ~\mathrm{d}x = \sum_{i=1}^{d} \int_{\mathbb{R}} e^{-\pi x_i^2} e^{-2\pi \xi_i x_i} ~\mathrm{d} x_i = e^{-\pi|\xi|^2}. \] Gaussian 函数的逆变换可以通过 Fourier 逆定理，也可以通过将上述证明中的 \(i\) 替换为 \(-i\)，结论是不变的： \[ ( e^{-\pi|\xi|^2} )^{\vee} = e^{-\pi |x|^2}. \] 当 Gaussian 函数中含有因子时，其 Fourier 变换和逆变换分别为 \[ (e^{-\lambda \pi |x|^2})^{\wedge} = \lambda^{-d/2} e^{ - \pi |\xi|^2/\lambda}, \quad (e^{-\lambda \pi |\xi|^2})^{\vee} = \lambda^{-d/2} e^{-\pi |x|^2 / \lambda}. \]