Bessel 位势和 Yukawa 位势

Bessel 方程定义为 \[ -\Delta u + u = f \] 为了求该方程的基本解, 方程右端非齐次项换成 Delta 函数 \(\delta\). 两边作 Fourier 变换, 就得到 \[ (1 + 4\pi^2 |\xi|^2) \widehat{B} = 1 \] 接下来要求解函数 \(\widehat{B}(\xi)\) 的 Fourier 逆变换, 又称为 Bessel 位势 \[ B(x) = \int_{\mathbb{R}^d} \frac{e^{i2\pi \xi \cdot x}}{1 + 4\pi^2 |\xi|^2} ~\mathrm{d}\xi \] 但是这个积分我们不会算啊, 怎么办? 一种思路是将该积分转换为我们熟悉的 Gauss 积分, 我们知道 \[ \int_0^{\infty} e^{-ct} \mathrm{d}t = \frac{1}{c} \] 将积分中的常数 \(c\) 换成 Bessel 位势, 就得到 \[ \widehat{B}(\xi) = \int_0^{\infty} e^{-t - 4\pi^2 t |\xi|^2} \mathrm{d}t \] 不幸的是, 我们现在多了一层积分, 幸运的是, 我们把讨厌的 \(|\xi|^2\) 移到指数上去了, 这就可以通过 Gauss 积分处理, 如果我们默认积分是可以换序的: \[ \int_0^{\infty} e^{-t} \int_{\mathbb{R}^d} e^{i2\pi \xi \cdot x} e^{- 4\pi^2 t |\xi|^2} ~\mathrm{d}\xi \mathrm{d}t \] 这就得到 \[ \int_0^{\infty} e^{-t} (4\pi^2 t)^{-d/2} e^{-|x|^2/4\pi^2 t} ~\mathrm{d}t \] 特别的, 当 \(d=1\) 时, 积分为 \[ B(x) = \int_{\mathbb{R}} \frac{e^{i2\pi \xi x}}{1 + 4\pi^2 \xi^2} ~\mathrm{d}\xi \] 我们可以通过留数积分来计算, 考虑函数 \[ f(z) = \frac{1}{1 + 4\pi^2 z^2} \] 注意到当 \(|z| \rightarrow \infty\) 时, \(f(z) \rightarrow 0\). 考虑上半平面的半圆, 可以证明, 当半圆半径 \(R \rightarrow \infty\) 时, 在半圆弧上的积分 \[ \lim_{R \rightarrow \infty} \int_{\Gamma_R} f(z) e^{i2\pi x z} ~\mathrm{d}z = 0 \] 因此 \[ \oint_{C} f(z) e^{i2\pi x z} ~\mathrm{d}z = \int_{\mathbb{R}} f(\xi) e^{i2\pi x \xi} ~\mathrm{d}\xi = 2\pi i \mathrm{Res} \] 因此问题转化为计算留数. 函数 \(f(z)\) 的极点为 \[ \pm\frac{1}{2\pi i} \] 选择位于上半平面的极点 \(-1/2\pi i\), 得到留数为 \[ \mathrm{Res} = \lim_{z\rightarrow z_0} (z-z_0) f(z) e^{i2\pi x z} = -\frac{i}{4\pi} e^{-x} \] 最终得到 \[ \int_{\mathbb{R}} f(\xi) e^{i2\pi x \xi} ~\mathrm{d}\xi = \frac{1}{2} e^{-x} \] 但是这个答案是不完全对的! 因为一维的 Bessel 位势为 \[ B(x) = \frac{1}{2} e^{-|x|} \] 我没有看到怎样把这个绝对值的符号加进去.