Fourier-变换和逆变换公式的一致性

Fourier 变换公式, 在不同的应用场景下, 定义可能是不一样的. 但是, Fourier 逆变换公式必须与变换公式保持一致, 才能满足 Fourier 逆定理. 例如, 定义一种 Fourier 变换方式如下 \[ \hat f(\xi) \triangleq \int_{\mathbb{R}^d} f(x) e^{-i2\pi x \cdot \xi} ~\mathrm{d} x \] Fourier 逆变换公式并不是通过定义得到, 而是根据 Fourier 逆定理推导得到: \[ f(x) = \int_{\mathbb{R}^d} \hat f(\xi) e^{i2\pi x \cdot \xi} ~\mathrm{d} \xi \] 上面例子的好处是不需要在变换公式的前面引入额外的系数. 接下来, 我们将根据这一公式, 利用积分变换, 得到不同形式下一致的 Fourier 变换和逆变换公式. 首先定义一般的 Fourier 变换公式: \[ \tilde f(\xi) \triangleq b\int_{\mathbb{R}^d} f(x) e^{-i2\pi a x \cdot \xi} ~\mathrm{d} x = b \hat f(a\xi) \] 对应的 Fourier 逆变换公式为 \[ f(x) = b' \int_{\mathbb{R}^d} \tilde f(\xi) e^{i 2\pi a x \cdot \xi} ~\mathrm{d} \xi = b b' \int_{\mathbb{R}^d} \hat f(a \xi) e^{i 2\pi a x \cdot \xi} ~\mathrm{d} \xi \] 作换元 \(a\xi = \eta\), 那么 \(a^d \mathrm{d} \xi = \mathrm{d} \eta\), 代入公式中得到 \[ f(x) = a^{-d} b b' \int_{\mathbb{R}^d} \hat f(\eta) e^{i 2\pi x \cdot \eta} ~\mathrm{d} \eta = a^{-d} b b' f(x) \] 由此得到变换公式中设定的变量之间的关系为 \[ a^{-d} b b' \equiv 1 \] 综上所述, \[ \boxed{ \begin{aligned} \hat f(\xi) &= b \int_{\mathbb{R}^d} f(x) e^{-i2\pi a x \cdot \xi} ~\mathrm{d} x \\ f(x) &= \frac{a^d}{b~} \int_{\mathbb{R}^d} \hat f(\xi) e^{i2\pi a x \cdot \xi} ~\mathrm{d} \xi \end{aligned} } \]

评注:

按照上式定义的 Fourier 变换公式, 对于偏导数的 Fourier 变换为 \[ \widehat{\frac{\partial f}{\partial x_i}} = i2\pi a\xi_i \hat f(\xi) \] 该公式与积分项前的系数无关.

现在考虑一些常用的情况. 对于一维情景, 如果定义 Fourier 变换公式为 \[ \hat f(\xi) \triangleq \int_{\mathbb{R}} f(x) e^{-i x \xi} ~\mathrm{d} x , \quad b = 1, \quad a = \frac{1}{2\pi} \] 那么对应的 Fourier 逆变换公式为 \[ f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{\mathbb{R}} f(x) e^{i x \xi} ~\mathrm{d} \xi \] 推广到三维场景, 那么 \[ \begin{aligned} \hat f(\xi) &\triangleq \int_{\mathbb{R}^3} f(x) e^{-i x \cdot \xi} ~\mathrm{d} x \\ f(x) &= \frac{1}{(2\pi)^3} \int_{\mathbb{R}^3} \hat f(\xi) e^{i x \cdot \xi} ~\mathrm{d} \xi \end{aligned} \] 如果希望 Fourier 变换与逆变换公式前的系数相等, 那么有 \[ b = a^{d/2} \] 如果继续考虑 \(a = 1/2\pi\) 的情景, 那么

一维情景 \[ \begin{aligned} \hat f(\xi) &\triangleq \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\mathbb{R}} f(x) e^{-i x \xi} ~\mathrm{d} x \\ f(x) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\mathbb{R}} \hat f(\xi) e^{i x \xi} ~\mathrm{d} \xi \end{aligned} \] 三维情景 \[ \begin{aligned} \hat f(\xi) &\triangleq \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \int_{\mathbb{R}^3} f(x) e^{-i x \cdot \xi} ~\mathrm{d} x \\ f(x) &= \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \int_{\mathbb{R}^3} \hat f(\xi) e^{i x \cdot \xi} ~\mathrm{d} \xi \end{aligned} \]