Fourier 级数的一些性质

发表于 2024-05-04 更新于 2025-03-06 分类于 Fourier 分析阅读次数：

对于 $[0,1]$ 上的周期函数 $f(x):\mathbb{R} \mapsto \mathbb{C}$, 其内积定义为 \[ \langle f(x), g(x) \rangle \triangleq \frac{1}{L} \int_0^{L} f(x) \overline{g(x)} ~\mathrm{d}x \tag{$\star$} \] $f(x)$ 的 Fourier 级数表示为 \[ f(x) \sim \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k e^{i 2\pi k x}, \tag{1} \] 其系数 $c_k$ 为: \[ c_k = \langle f(x), e^{i 2\pi k x} \rangle = \int_{0}^{1} f(x) e^{-i 2\pi k x} ~\mathrm{d}x \tag{2} \] ## Parseval 等式

根据式 (1) (2) 我们可以得到关系 $f(x) \sim \{ c_k \}$, 而 Parseval 等式给出 $f(x)$ 和 $\{ c_k \}$ 在所属空间的 (能量) 范数等价性: \[ \int_{0}^{1} |f(x)|^2 ~\mathrm{d}x = \sum_{k=-\infty}^{\infty} |c_k|^2 \tag{$\bigstar$} \] 相比 “形式地” 给出的证明, 我更愿意通过计算去解释式 ($\bigstar$) 的内涵. 首先, 我们声明, 对任意有限和 \[ S_N(x) \triangleq \sum_{k=0}^{N} \left( A_k \cos 2\pi k x + B_k \sin 2\pi k x \right), \tag{3} \] Fourier 系数是使得在均值平方意义下 $S_N(x)$ 对 $f(x)$ 的最佳估计. 换句话说, 误差 \[ E(A_k,B_k) \triangleq \int_0^1 \left( f(x) - \sum_{k=0}^{N} \left( A_k \cos 2\pi k x + B_k \sin 2\pi k x \right) \right)^2 \mathrm{d}x \] 在 $A_k := a_k$, $B_k := b_k$ 时取最小值. 例如, 上式对 $A_k$ 求偏导数得到 \[ \begin{aligned} \frac{\partial E}{ \partial A_k} &= -2\int_0^1 \left( f(x) - \sum_{k=0}^{N} \left( A_k \cos 2\pi k x + B_k \sin 2\pi k x \right) \right) \cos 2\pi k x \mathrm{d}x\\ &= -2\int_0^1 f(x) \cos 2\pi k x ~\mathrm{d}x + A_k \end{aligned} \] 令上式等于 0, 也即取极值 (对于正定二次型 $E$ , 极值点也是最小值点) 条件得到 \[ A_k = 2\int_0^1 f(x) \cos 2\pi k x ~\mathrm{d}x = a_k \] 同样也可以得到 \[ B_k = 2\int_0^1 f(x) \sin 2\pi k x ~\mathrm{d}x = b_k \] 如果将 Fourier 级数展开解释为 $f(x)$ 在正交基上的投影, 那么上面的一切似乎都是顺理成章的. $f(x)$ 在子空间中的投影点, 也是该子空间中距离 $f(x)$ 最近的点. 如果给出 $f(x)$ 所属空间中的一族规范正交基 $\{ c_k \}$, 那么 $f(x)$ 在该空间中的 “长度”, 就等于 $f(x)$ 在 $\{ c_k \}$ 表示下 “坐标” 的平方和, 这也就是 Parseval 等式 ($\bigstar$). 我们甚至还可以通过这一概念的类比, 直接得到 Bessel 不等式, 也即函数在有限个正交基上的投影长度总是小于原来的长度: \[ \int_{0}^{1} |f(x)|^2 ~\mathrm{d}x \geq \sum_{k\in K} |c_k|^2, \quad K \subseteq \mathbb{Z} \] 这一切与有限维空间中如此相似的性质, 放到无穷维空间中仍然适用, 是因为使得我们内积的定义方式 ($\star$) 有意义的函数所属的空间是 Hilbert 空间. Hilbert 空间, 即使是无穷维的, 也不会丢失掉类似于有限维空间中的长度, 角度和内积性质.

Fourier 级数的收敛性

定义函数 $f$ 的 Fourier 级数的部分和 \[ S_N[f](x) \triangleq \sum_{|k| \leq N} c_k e^{i 2\pi kx}, \] 那么, 在什么意义下, 当 $N \rightarrow \infty$ 时, $S_N[f]$ 收敛到 $f$ 呢? 根据 Parseval 等式, 我们知道 \[ \int_{0}^{1} |f(x) - S_N[f](x)|^2 ~\mathrm{d}x = \sum_{|k| > N} |c_k|^2 \] 当 $N \rightarrow \infty$ 时, 根据上式, 函数 $S_N[f]$ 在 $L_2$ 范数意义下收敛到 $f$. 进一步的, 我们还可以给出使得 $S_N[f]$ 在逐点意义下收敛到 $f$ 的定理:

对于 $f \in L_2(\mathbb{R})$, 当 $N \rightarrow \infty$ 时, 有 \[ S_{N}[f] \rightarrow f, \quad a.e. \tag{$\spadesuit$} \]

注意到, 我们给出的 $S_N[f]$ 收敛性是 almost everywhere 上的, 如果我们得到点 $x$ 处的 Fourier 级数不总是收敛到对应的函数值 $f(x)$, 这并不与式 ($\spadesuit$) 矛盾. 接下来我们将举例说明, 函数 $f$ 满足定理 $\spadesuit$ 条件, 但在某些点 $x$ 处其 Fourier 级数并不收敛到 $f(x)$.

例: Gibbs 现象

给定在 $(0, 2\pi)$ 上的周期函数 $f(x):\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ \[ f(x) = \frac{\pi - x}{2}, x\in (0, 2\pi) \] 其 Fourier 级数展开式为 \[ f(x) \sim \frac{1}{1} \sin x + \frac{1}{2} \sin 2x + \cdots + \frac{1}{n} \sin nx + \cdots \] 定义函数 $f$ 的部分和 $S_N(x):\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ \[ S_N(x) \triangleq \sum_{k=1}^{N} \frac{1}{k} \sin kx \] 那么根据定理 $\spadesuit$, 当 $N\rightarrow \infty$ 时, $S_N \rightarrow f, a.e.$ 但接下来我们将证明, 当 $N\rightarrow \infty$ 时, 在区间 $(0, \frac{\pi}{N})$ 上函数 $S_{N}$ 的最大值并不收敛到 $f$ 的最大值, 也即 $\frac{\pi}{2}$.

首先, 函数 $S_N$ 的导函数是可以得到一个紧凑的表达式的: \[ S_N^{\prime}(x) = \frac{\sin \left(\frac{Nx}{2}\right) }{\sin \left(\frac{x}{2}\right) } \cos \left( \frac{N+1}{2}x \right) \] 由此可以得到, 当 $x = \frac{\pi}{N+1}$ 时, 函数 $S_N$ 在 $(0, \frac{\pi}{N})$ 取到最大值, 所以 \[ \max_{x\in(0,\frac{\pi}{N})} S_N(x) = S_N(\frac{\pi}{N+1}) = \sum_{k=1}^{N} \frac{1}{k} \sin \frac{k\pi}{N+1} \] 如果记 \[ \frac{k\pi}{N+1} \doteq t_k, \quad \frac{\pi}{N+1} \doteq \Delta t \] 那么 \[ \max_{x\in(0,\frac{\pi}{N})} S_N(x) = \sum_{k=1}^{N} \frac{\sin t_k}{t_k} \Delta t \] 当 $N \rightarrow \infty$ 时, 上式趋近于积分 \[ \max_{x\in(0,\frac{\pi}{N})} S_N(x) \rightarrow \int_{0}^{\pi} \frac{\sin t}{t} ~\mathrm{d}t \approx 1.85194 \] 这与函数 $f$ 最大值的相对误差为 \[ \mathrm{error} = \frac{|\int_{0}^{\pi} \frac{\sin t}{t} - \frac{\pi}{2}|}{\frac{\pi}{2}} \approx 0.17898 \] 将 $N=3,4,5,10,20$ 的部分和函数 $S_N$ 绘图, 如下图所示

Riemann-Lebesgue 引理

接下来, 我们希望建立起一个对 $c_k$ 与 $f$ 光滑性联系的印象: $f$ 越光滑, $c_k$ 收敛到 0 的速度就越快.

首先, 我们可以通过定义得到关于 $c_k$ 最粗糙的估计: \[ |c_k| \leq \int_{0}^{1} |f(x)| ~\mathrm{d}x, \quad \forall k \in \mathbb{Z} \] 接下来将要说明的是, 当 $|k| \rightarrow \infty$ 时, $c_k \rightarrow 0$. 这一结论由 Riemann-Lebesgue 引理给出:

Riemann-Lebesgue 引理 (级数形式)

若 $f$ 在 $(0,1)$ 上可积, 那么当 $|k| \rightarrow \infty$ 时, \[ c_k \rightarrow 0. \]

我们可以通过构造如下列式来证明这一引理. 若 $f(x)$ 偏移 $x_0$, 对应的 Fourier 级数系数 $c_k^{\prime}$ 为: \[ c_k^{\prime} = \int_{0}^{1} f(x+x_0) e^{-i 2\pi kx} ~\mathrm{d}x \stackrel{y\doteq x+x_0}{=} \int_{0}^{1} f(y) e^{-i 2\pi k (y-x_0)} ~\mathrm{d}x = e^{i 2\pi k x_0} c_k \]

若 $x_0 := \frac{1}{2k}$, 那么 $c_k^{\prime} = -c_k$, 所以 \[ c_k = \frac{c_k - c_k^{\prime}}{2} = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \left( f(x)-f(x+\frac{1}{2k}) \right) e^{-i 2\pi kx} ~\mathrm{d}x \tag{$\clubsuit$} \] 由上式可以看到, 如果函数 $f$ 连续, 那么当 $|k| \rightarrow \infty$ 时, $c_k \rightarrow 0$. 对于一般的可积函数 $f$, 给定 $\varepsilon > 0$, 总可以确定某一个连续函数 $g$, 使得 \[ \int_{0}^{1} |f(x) - g(x)| ~\mathrm{d}x < \frac{\varepsilon}{2} \] 以及某一个 $N$, 使得当 $|k| > N$ 时, $c_k(g) < \frac{\varepsilon}{2}$, 由此我们得到 \[ |c_k(f)| \leq |c_k(f) - c_k(g)| + |c_k(g)| \leq \int_{0}^{1} |f(x) - g(x)| ~\mathrm{d}x + \frac{\varepsilon}{2} \leq \varepsilon \] 这就证明了 Riemann-Lebesgue 引理. $\blacksquare$

再然后, 我们希望在知道函数 $f$ 光滑性的信息之后, 能够对 $c_k$ 收敛到 0 的速度有一个估计. 如果函数 $f \in C^1(\mathbb{R})$, 那么通过下面简单的计算可以得到系数 $c_k$ 的收敛速度为 $\mathcal{O}(\frac{1}{|k|})$ : \[ \begin{aligned} c_k &= \int_{0}^{1} f(x) e^{-i 2\pi k x} ~\mathrm{d}x = \frac{1}{-i 2\pi k} \int_{0}^{1} f(x) ~\mathrm{d}e^{-i 2\pi k x} \\ &= \frac{1}{i 2\pi k} \int_{0}^{1} e^{-i 2\pi k x} ~\mathrm{d}f(x) + \underbrace{\left. \frac{1}{-i 2\pi k} f(x) e^{-i 2\pi k x}\right\vert_{0}^{1}}_{=0} \\ &= \frac{1}{i 2\pi k} \int_{0}^{1} e^{-i 2\pi k x} f'(x) ~\mathrm{d}x \sim \mathcal{O}(\frac{1}{|k|}) \end{aligned} \] 如果函数 $f$ 具有更高阶的光滑性, 那么 \[ c_k = \frac{1}{i 2\pi k} \int_{0}^{1} e^{-i 2\pi k x} f'(x) ~\mathrm{d} x = \frac{1}{(i 2\pi k)^2} \int_{0}^{1} e^{-i 2\pi k x} f''(x) ~\mathrm{d} x = \cdots \] 如果函数 $f$ 是 Lipschitz 连续的, 也即 \[ |f(x) - f(y)| \leq \mathrm{Lip}(f) |x-y|, \quad \forall x,y \in \mathbb{R} \] 那么代入式 ($\clubsuit$) 中得到 \[ |c_k| \leq \frac{\mathrm{Lip}(f)}{4 |k|} \] Fourier 变换的 Riemann-Lebesgue 引理为

Riemann-Lebesgue 引理 (变换形式)

若 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上可积, 那么当 $\xi \rightarrow \infty$ 时, \[ \widehat f(\xi) = \int_{\mathbb{R}} f(x) e^{i 2 \pi \xi x} ~\mathrm{d}x \rightarrow 0. \]

[!NOTE]

从 Riemann-Lebesgue 引理中可以直接得到以下结论:

若函数 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上可积, 那么 \[ \int_{\mathbb{R}} f(x) \cos(tx) ~\mathrm{d}x \rightarrow 0, ~ \int_{\mathbb{R}} f(x) \sin(tx) ~\mathrm{d}x \rightarrow 0, ~ ~when~ t \rightarrow \infty \]