Fourier 级数的三角系数与指数系数转换关系

对于 \([0,1]\) 上的周期函数 \(f(x)\), 并延拓到整个 \(\mathbb{R}\) 上, \(f(x)\)​ 的 Fourier 级数表示为 \[ f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} a_k \cos 2\pi k x + \sum_{k=1}^{\infty} b_k \sin 2\pi k x \tag{1} \] 根据三角函数基的正交性 (正交性在文末证明): \[ \int_{0}^{1} \cos 2\pi k x \cos 2\pi m x ~\mathrm{d} x = \begin{cases} 0, \quad &k \neq m \\ \frac{1}{2}, \quad &k = m \\ \end{cases} \] ( 三角函数基虽然正交, 但不是规范正交的! ) 可以确定由式 (1) 表示的 Fourier 级数系数为 \[ \begin{aligned} a_k &= 2 \int_{0}^{1} f(x) \cos 2\pi k x ~\mathrm{d}x, \quad k=0,1,2,\ldots\\ b_k &= 2 \int_{0}^{1} f(x) \sin 2\pi k x ~\mathrm{d}x, \quad k=1,2,\ldots \end{aligned} \tag{2} \] 如果我们选用指数函数基底表示 \(f(x)\): \[ f(x) \sim \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k e^{i 2\pi k x}, \tag{3} \] 那么根据指数函数基底的规范正交性, 可以得到 \[ c_k = \langle f(x), e^{i 2\pi k x} \rangle = \int_{0}^{1} f(x) e^{-i 2\pi k x} ~\mathrm{d}x \tag{4} \] 接下来, 我们希望得到 (1) (3) Fourier 级数表示系数之间的关系, 我们将式 (4) 积分项中的 \(e^{-i2\pi k x}\) 展开得到 \[ \begin{aligned} c_k = \int_{0}^{1} f(x) \cos{2\pi k x} ~\mathrm{d}x - i\int_{0}^{1} f(x) \sin{2\pi k x} ~\mathrm{d}x \\ c_{-k} = \int_{0}^{1} f(x) \cos{2\pi k x} ~\mathrm{d}x + i\int_{0}^{1} f(x) \sin{2\pi k x} ~\mathrm{d}x \end{aligned} \] 再根据 (2) 式给出的 \(a_k\), \(b_k\) 表达式可以得到 \[ \begin{gathered} a_k= c_k + c_{-k}, \quad b_k = i(c_k - c_{-k}), \quad k=1,2,\ldots \\ a_0 = c_0 \end{gathered} \]

此外, 我们还可以看到 \[ c_{-k} = \overline{c}_{k} \]

Remark

1. 式 (1) 中常数项含分数是因为, 如果我们将 Fourier 级数表示为

\[ f(x) \sim a_0^{\prime} + \sum_{k=1}^{\infty} a_k \cos 2\pi k x + \sum_{k=1}^{\infty} b_k \sin 2\pi k x, \tag{1$^\prime$} \]

那么 \[ a_{0}^{\prime} = \int_{0}^{1} f(x) ~\mathrm{d}x, \] 而公式 (2) 中 \(a_0\) \[ a_0 = 2\int_{0}^{1} f(x) ~\mathrm{d}x = 2a_{0}^{\prime} \]

2. 对于周期为 \(L\) 的函数 \(f(x)\), 其 Fourier 级数的表达式为

\[ f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} a_k \cos \frac{2\pi}{L} k x + \sum_{k=1}^{\infty} b_k \sin \frac{2k\pi}{L} x \tag{1$''$} \]

或者 \[ f(x) \sim \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k e^{i \frac{2\pi}{L} k x}, \tag{3$''$} \] 同样也可以用三角函数基 \(\{ \cos \frac{2\pi}{L} k x \}\), \(\{ \sin \frac{2\pi}{L} k x \}\) 和指数函数基 \(\{ e^{i \frac{2\pi}{L} k x} \}\) 的内积得到 Fourier 系数的表达式为 \[ \begin{aligned} a_k &= \frac{2}{L} \int_{0}^{L} f(x) \cos \frac{2\pi}{L} k x ~\mathrm{d}x, \quad k=0,1,2,\ldots\\ b_k &= \frac{2}{L} \int_{0}^{L} f(x) \sin \frac{2\pi}{L} k x ~\mathrm{d}x, \quad k=1,2,\ldots \end{aligned} \tag{2$''$} \] 和 \[ c_k = \frac{1}{L} \int_{0}^{L} f(x) e^{-i \frac{2\pi}{L} k x} ~\mathrm{d}x \tag{4$''$} \] 另一个思路是积分变换, 我们以指数函数基为例. 对于周期为 \(L\) 的函数 \(f(x)\), 函数 \(F(y) := f(Ly)\) 的周期为 \(1\) , 根据式 (3) \[ F(y) \sim \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k e^{i 2\pi k y} \] 以及系数 \(c_k\) 为 \[ c_k = \int_{0}^{1} F(y) e^{-i 2\pi k y} ~\mathrm{d}y = \int_{0}^{1} f(Ly) e^{-i 2\pi k y} ~\mathrm{d}y \] 作变量替换 \(x == Ly\), 也即 \(y==\frac{x}{L}\), 所以 \[ f(x) \sim \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k e^{i \frac{2\pi}{L} k x} \] 其 Fourier 系数为 \[ c_k = \int_{0}^{L} F(y) e^{-i 2\pi k \frac{x}{L}} \frac{1}{L}~\mathrm{d}x = \frac{1}{L} \int_{0}^{L} F(y) e^{-i \frac{2\pi}{L} k x} ~\mathrm{d}x \]

三角函数基与指数函数基的正交性证明

首先, 周期为 \(L\) 的函数 \(f(x),g(x): \mathbb{R} \mapsto \mathbb{C}\) 的内积定义为 \[ \langle f(x), g(x) \rangle \triangleq \frac{1}{L} \int_0^{L} f(x) \overline{g(x)} ~\mathrm{d}x \tag{$\star$} \] 注意到这种内积的定义并不是唯一的, 但是, 按照 (\(\star\)) 的定义, 指数函数基 \(\{ e^{i \frac{2\pi}{L} kx} \}\) 总是规范正交基: \[ \langle e^{i \frac{2\pi}{L} k x}, e^{i \frac{2\pi}{L} m x} \rangle = \frac{1}{L} \int_{0}^{L} e^{i \frac{2\pi}{L} k x} e^{-i \frac{2\pi}{L} m x} ~\mathrm{d}x =\begin{cases} \frac{L}{i2\pi(k-m)} \left( e^{i \frac{2\pi}{L} (k-m)} -1 \right) \equiv 0, \quad &k \neq m \\ 1, &k = m \end{cases} \] 三角函数基 \(\{ \cos \frac{2\pi}{L} kx \}\), \(\{ \sin \frac{2\pi}{L} kx \}\)的正交性的证明可以通过积化和差公式: \[ \begin{aligned} \cos \frac{2\pi}{L} k x \cos 2m\pi x &= \frac{1}{2} \left( \cos \frac{2\pi}{L} (k-m) x + \cos \frac{2\pi}{L} (k+m) x \right) \\ \sin \frac{2\pi}{L} k x \sin 2m\pi x &= \frac{1}{2} \left( \cos \frac{2\pi}{L} (k-m) x - \cos \frac{2\pi}{L} (k+m) x \right) \end{aligned} \] 当 \(k\neq m\) 时, 上式右侧积分总等于 0, 所以 \[ \begin{aligned} \langle \cos{\frac{2\pi}{L} k x}, \cos{\frac{2\pi}{L} m x} \rangle &= 0, \quad k\neq m\\ \langle \sin{\frac{2\pi}{L} k x}, \sin{\frac{2\pi}{L} m x} \rangle &= 0, \quad k\neq m \end{aligned} \] 只有当 \(k=m\) 时, \[ \begin{aligned} \langle \cos{\frac{2\pi}{L} k x}, \cos{\frac{2\pi}{L} k x} \rangle = \frac{1}{L} \int_{0}^{L} \cos^2 \frac{2\pi}{L} k x ~\mathrm{d}x = \frac{1}{2}, \quad \langle \sin{\frac{2\pi}{L} k x}, \sin{\frac{2\pi}{L} k x} \rangle = \frac{1}{L} \int_{0}^{L} \sin^2 \frac{2\pi}{L} k x ~\mathrm{d}x = \frac{1}{2} \end{aligned} \] 三角函数基 \(\{ \cos \frac{2\pi}{L} kx \}\), \(\{ \sin \frac{2\pi}{L} kx \}\)之间总是正交的, 这是因为 \[ \sin \frac{2\pi}{L} k x \cos \frac{2\pi}{L} m x = \frac{1}{2} \left( \sin \frac{2\pi}{L}(k+m)x + \sin \frac{2\pi}{L}(k-m)x \right) \] 因此, 对任意的 \(k\), \(m\), \[ \langle \sin{\frac{2\pi}{L} k x}, \cos{\frac{2\pi}{L} m x} \rangle = \frac{1}{L} \int_{0}^{L}\sin \frac{2\pi}{L} k x \cos \frac{2\pi}{L} m x ~\mathrm{d}x \equiv 0 \]