Gaussian 函数的 Fourier 变换与逆变换

首先, 我们来考虑一维情景下 Gauss 函数在 \(\mathbb{R}\) 上的积分: \[ I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\pi x^2} \mathrm{d}x \tag{1} \] 这可以通过 “升一维” (replica trick) 的办法去做: \[ I^2 = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\pi x^2} \mathrm{d}x \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\pi y^2} \mathrm{d}y = \iint_{\mathbb{R}^2} e^{-\pi (x^2 + y^2)} \mathrm{d}x\mathrm{d}y \] 变换到极坐标系中, 得到 \[ x^2 + y^2 = r^2, \quad \mathrm{d}x\mathrm{d}y = r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \] 所以 \[ I^2 = \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_{0}^{\infty} e^{-\pi r^2} r\mathrm{d}r = 10 \]

[!TIP]

一个有意思的结论是, 上述的 replica trick 可以应用函数的范围是有限的 (Poisson’s remarkable calculation – a method or a trick?). 如果函数 \(f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\) 满足如下泛函: \[ f(x) f(y) = g(x^2 + y^2) h(y/x) \] 并且待选取的函数集合是基本函数, 那么函数 \(f\) 的形式只能是关于 \(x\) 的幂函数和 \(e^{x^2}\) 的乘积: \[ f(x) = A x^p e^{x^2} \]

接下来, 我们考虑一维情景 Gauss 函数的 Fourier 变换: \[ \widehat{e^{-\pi x^2}} = \int_{\mathbb{R}} e^{-\pi x^2} e^{-i 2\pi \xi x} ~\mathrm{d}x \tag{2} \]

最直接的方法是使用换元, \[ \int_{\mathbb{R}} e^{-\pi(x^2 + 2i\xi x)} ~\mathrm{d}x = e^{ -\pi\xi^2} \int_{\mathbb{R}} e^{-\pi(x + i\xi)^2} ~\mathrm{d}x = e^{ -\pi\xi^2} \int_{L} e^{-z^2} ~\mathrm{d}z, \quad L = line(-\infty+i\xi, +\infty + i\xi) \] 构造积分回路 \((-a+i\xi, a + i\xi, a, -a)\), 可以证明当 \(a \rightarrow \infty\) 时, 在 \((a, a+i\xi)\) , \((-a, -a + i\xi)\) 上的积分等于 0, 所以 \[ \int_{L} e^{-z^2} ~\mathrm{d}z = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\pi x^2} \mathrm{d}x = 1 \] 最终得到 \[ \widehat{e^{-\pi x^2}} = e^{-\pi \xi^2} \]

还有一种方式是使用分部积分, 得到关于 \(\widehat{e^{-\pi x^2}}\) 的微分方程. 引入新的函数记号 \(F(\xi) \triangleq \widehat{e^{-\pi x^2}}\), 再对式 (2) 两边分别关于 \(\xi\) 求导数: \[ \begin{aligned} F'(\xi) &= \int_{\mathbb{R}} -i2\pi x e^{-\pi x^2} e^{- i 2\pi \xi x} ~\mathrm{d}x = \int_{\mathbb{R}} i e^{- i 2\pi \xi x} ~\mathrm{d}e^{-\pi x^2} \\ &= - \int_{\mathbb{R}} i e^{-\pi x^2} ~\mathrm{d}e^{- i 2\pi \xi x} + \underbrace{i e^{- i 2\pi \xi x} e^{-\pi x^2}|_{-\infty}^{+\infty}}_{=0}\\ &= -2\pi\xi F(\xi) \end{aligned} \] 求解上述微分方程得到 \[ F(\xi) = F(0) e^{-\pi\xi^2} \] 又因为 \(F(0) = I \equiv 1\), 所以 \(\widehat{e^{-\pi x^2}} = e^{-\pi \xi^2}\).

高维情境下的 Gaussian 函数的 Fourier 变换可以根据指数的性质自然分解为一维 Fourier 变换的乘积: \[ \widehat{e^{-\pi |x|^2}} = \int_{\mathbb{R}^d} e^{-\pi \sum x_i} e^{-i2\pi \xi \cdot x} ~\mathrm{d}x = \sum_{i=1}^{d} \int_{\mathbb{R}} e^{-\pi x_i^2} e^{-2\pi \xi_i x_i} ~\mathrm{d} x_i = e^{-\pi|\xi|^2} \] Gaussian 函数的逆变换可以通过 Fourier 逆定理, 也可以通过将上述证明中的 \(i\) 替换为 \(-i\), 结论是不变的: \[ ( e^{-\pi|\xi|^2} )^{\vee} = e^{-\pi |x|^2} \] 当 Gaussian 函数中含有因子时, 其 Fourier 变换为 \[ (e^{-\lambda \pi |x|^2})^{\wedge} = \lambda^{-d/2} e^{ - \pi |\xi|^2/\lambda} \] 对应的 Fourier 逆变换为 (形式上完全一样) \[ (e^{-\lambda \pi |\xi|^2})^{\vee} = \lambda^{-d/2} e^{-\pi |x|^2 / \lambda} \] 如果函数 \(f\) 是 \(\alpha-\)​ 齐次的, 也即 \[ f(\lambda x) = \lambda^{\alpha} f(x) \] 线性函数 \(\alpha = 1\); 幂函数 \(x^p\) \(\alpha = p\); Gaussian 函数是径向对称函数, 但不是齐次函数.