Bessel 函数
参考文献: Gilbert Strang, Introduction to applied mathematics
Bessel 函数是求解二维圆形区域上的振型方程引入的, 振型方程为 \[ \Delta u + \lambda u = 0, \quad u=0 \quad\text{on}\quad B(1,0) \] 写成极坐标的形式为 \[ \frac{\partial^2 u}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2} + \lambda u = 0 \tag{1} \] 如果将极坐标上的方程解 \(u(r,\theta)\) 写成分离变量的形式, \(u(r,\theta) = A(\theta)B(r)\), 代入到上述方程中 \[ AB^{\prime\prime} + \frac{1}{r}AB^{\prime} + \frac{1}{r^2}A^{\prime\prime}B + \lambda AB = 0 \] 方程乘 \(r^2\), 然后将不同变量的函数分离, 并分别放在方程两侧得到 \[ \frac{r^2 B^{\prime\prime} + r B^{\prime} + \lambda r^2 B}{B} (r) = - \frac{A^{\prime\prime}}{A~~} (\theta) \tag{2} \] 等号两边的函数依赖于不同的独立变量, 并且等号恒成立, 这就不得不要求方程两边应该等于一个相同的常数 \(C\). 常数 \(C\) 的确定需要观察方程 (1) 的边界条件: \(A(\theta)\) 是周期为 \(2\pi\) 的函数, 因此常数 \(C\) 必须大于等于 0 (否则依指数衰减), 且等于 \(n^2\), \(n\) 为非零整数(否则就不能以 \(2\pi\) 为周期). 式 (2) 右端方程解得 \[ A = c_1 e^{-i n\theta} + c_2 e^{-i n\theta} \quad 或者 \quad A = a_1 \cos n\theta + a_2 \sin n\theta \] 式 (2) 左端满足的微分方程, 以及根据式 (1) 得到的对 \(B\) 的约束 \[ r^2 B^{\prime\prime} + r B^{\prime} + \lambda r^2 B + n^2 B = 0, \quad B(1) = 0 \tag{3} \] 这是一个变系数二阶线性齐次常微分方程, 方程的解没办法直接猜出来, 并且还要满足约束 \(B(1) = 0\), 所以构造 \(B\) 为关于 \(r\) 的级数解形式: \[ \mathrm{ANSATZ}\quad B(r) = \sum c_m r^m \] 代入到方程 (3) 当中, 得到 \[ \sum c_m m(m-1) r^m + \sum c_m m r^m + \sum \lambda c_m r^{m+2} + \sum n^2 c_m r^m \equiv 0 \] 整理一下级数项 \(r^m\) 的系数得到 \[ \sum \left[ c_m m(m-1) + c_m m + \lambda c_{m-2} + n^2 c_m \right] r^m \equiv 0 \] 级数项系数应恒等于 0, 于是我们就得到了关于系数 \(c_m\) 的递归方程 \[ c_m = \frac{-\lambda}{m^2 + n^2} c_{m-2} \] 特别的, 如果我们令 \(n:=0\) (此时 \(A(\theta) \equiv \mathrm{Const}\), \(u(r,\theta) = B(r)\) 为径向对称函数), 以及 \(c_0 = 1\), \(c_1 = 0\), 就得到 Bessel 方程 \[ B(r) = 1 - \frac{\lambda}{2^2} r^2 + \frac{\lambda^2}{2^2 4^2} r^4 - \frac{\lambda^3}{2^2 4^2 6^2} r^6 + \cdots \tag{4} \] 令上式 \(\lambda=1\), 就得到零阶 Bessel 函数 (零阶对应 \(n=0\)) \[ J_{0}(r) \triangleq 1 - \frac{1}{2^2} r^2 + \frac{1}{2^2 4^2} r^4 - \frac{1}{2^2 4^2 6^2} r^6 + \cdots \] 以及 \(B(r) = J_{0}(\sqrt{\lambda}~r)\).
现在我们还没有确定式 (4) 中 \(\lambda\) 可以取哪些数值. \(\lambda\) 应满足 \(B(1)=0\), 也即 \[ B(1) = J_0(\sqrt{\lambda}) = 1 - \frac{\lambda}{2^2} + \frac{\lambda^2}{2^2 4^2} - \frac{\lambda^3}{2^2 4^2 6^2} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(n! 2^n)^2} \lambda^n = 0 \] 上述方程根没有解析表达式, 但是可以类比余弦函数 \[ \cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} \] 若 \(\cos \sqrt{\lambda} = 0\), 那么 \(\sqrt{\lambda} = \pi/2, 3\pi/2, 5\pi/2\ldots\). 使得 \(J_0(\sqrt{\lambda}) = 0\) 的取值为 \[ \sqrt{\lambda} = 2.4,~ 5.5,~ 8.65,~ 11.8,~ 14.9, ... \] Bessel 函数的前 \(n\) 项和的图像为
