一些复积分中的定理和公式

参考文献: Gilbert Strang, Introduction to applied mathematics

解析函数在曲线上的积分: Cauchy 定理

首先, 我们先计算一些简单的复积分例子做一下热身:

例 1

函数 \(f(z) = z^2\) 在圆 \(\odot:z=Re^{i \theta}\) 上的积分为 \[ \int_{\odot} f(z) ~\mathrm{d}z = \int_{0}^{2\pi} R^2 e^{i2\theta} i R e^{i\theta} ~\mathrm{d}\theta = \frac{R^3}{3} \left. e^{i3\theta}\right|_{0}^{2\pi} = 0 \]

例 2

函数 \(f(z) = z^{1/2}\) 在圆 \(\odot:z=Re^{i \theta}\) 上的积分为 \[ \int_{\odot} f(z) ~\mathrm{d}z = \int_{0}^{2\pi} R^{1/2} e^{i\theta/2} i R e^{i\theta} ~\mathrm{d}\theta = \frac{R^{3/2}}{3/2} \left. e^{i3\theta/2}\right|_{0}^{2\pi} = -\frac{4}{3}R^{3/2} \]

例 3

函数 \(f(z) = 1/z\) 在圆 \(\odot:z=Re^{i \theta}\) 上的积分为 \[ \int_{\odot} f(z) ~\mathrm{d}z = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{R e^{i\theta}} i R e^{i\theta} ~\mathrm{d}\theta = 2\pi i \]

上面的算例当然是特地设计的, 目的是引出一般的解析函数在闭曲线上的积分定理, 也即 Cauchy 定理:

Cauchy's Theorem

If \(f\) is analytic in a simply connected region containing the closed curve \(C\), then \[ \int_C f(z) \mathrm{d}z = 0 \tag{3} \]

通过该定理, 我们可以直接得到例 1 的结果, 因为圆盘 \(S:x^2 + y^2 \leq R^2\) 包含曲线 \(C\), 并且函数 \(f(z)=z^2\) 在 \(S\) 上是解析的.

例 2 和例 3 是作为 Cauchy 定理的补充说明:

• 简单连通区域 (simply connected region) 是没有孔洞的区域. 例如, 函数 \(f(z)=1/z\) 在区域 \(1/2 < |z| < 2\) 之间是解析的, 并且该圆环区域包含圆 \(\odot\) , 但是, 该区域不是简单连通的. 包含圆 \(\odot\) 的区域必定包含点 \(z=0\), 而函数在 \(z=0\) 处不是解析的. 之后会看到, 正是在这一点的奇异性, 使得 \(1/z\) 在曲线 \(C\) 上的积分不等于 0.
• 函数 \(f\) 也必须是单值的, 否则式 (3) 的积分可能不等于 0, 我们已经通过例 3 说明了这一点.

这一定理的证明需要用到解析函数最重要的性质: 解析函数的实部与虚部 \(u\) \(v\)​ 满足 Cauchy-Riemann 条件 \[ \boxed{ - \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} } \] 我们将复积分 (3) 分成实部与虚部两部分: \[ \int_C f(z) ~\mathrm{d}z = \int_C (u + iv)(\mathrm{d}x + i\mathrm{d}y) = \int_C u\mathrm{d}x - v\mathrm{d}y + i\int_C v\mathrm{d}x + u\mathrm{d}y \] 第二类曲线积分可以通过 Stokes 公式转换到曲线内部区域上的积分: \[ \int_C f_1 ~\mathrm{d}x + f_2 ~\mathrm{d}y = \iint_{S} \mathrm{curl~}f ~\mathrm{d}x \mathrm{d}y, \quad \mathrm{curl~}f = \begin{vmatrix} \partial/\partial x & \partial/\partial y \\ f_1 & f_2 \end{vmatrix} \] 所以 \[ \int_C u\mathrm{d}x - v\mathrm{d}y = \iint_{S} - \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} ~\mathrm{d}x\mathrm{d}y,\quad \int_C v\mathrm{d}x + u\mathrm{d}y = \iint_{S} \frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y} ~\mathrm{d}x\mathrm{d}y \] 再根据 Cauchy-Riemann 条件, 就得到了定理式 (3) 的结论.

需要补充说明的是, Cauchy 定理反过来并不成立, 也即如果某一函数 \(f\) 对复平面任意环绕闭合曲线 \(C\) 的积分都等于 0, 这也不能确定函数 \(f\) 在复平面上就是解析的, 比如说:

例 4

函数 \(f(z) = 1/z^n\), \(n>1\) 在圆 \(\odot:z=Re^{i \theta}\) 上的积分为 \[ \int_{\odot} f(z) ~\mathrm{d}z = i R^{1-n} \int_{0}^{2\pi} e^{i (1-n)\theta} ~\mathrm{d}\theta = 0 \]

Cauchy 积分公式

现在我们知道, 解析函数在闭合曲线上的积分结果等于 0. 接下来我们考察一下, 如果函数在闭合曲线 \(C\) 围成的区域 \(S\) 上个别点处不解析 (这样的点称为奇点), 那么沿闭合曲线积分会得到什么结果.

从例 2 可以看到, 在 \(z=0\) 处不解析的函数 \(f(z) = 1/z\), 沿圆 \(C\) 的积分等于 \(2\pi i\), 与半径 \(R\) 无关. 所以可以合理地猜想 (虽然早就知道结论了), 是否对任意的环绕 \(z=0\) 的闭合曲线 \(C\), \(1/z\) 的积分结果都是一样的呢? 有如下结论: \[ \boxed{ \int_C \frac{1}{z-a} ~\mathrm{d}z = 2\pi i, \quad \forall \text{~closed curve~} C \text{~around~} a } \tag{8} \] 证明只需要看下面这一张图. 环绕圆 \(\odot\) 与曲线 \(C\) 的积分为 \[ I = \int_C \frac{1}{z-a} ~\mathrm{d}z - \int_{\odot} \frac{1}{z-a} ~\mathrm{d}z \] 同样, 该积分也可以看作是环绕图中阴影区域做的积分. 因为阴影区域不包含奇点, 所以根据 Cauchy 定理, 积分等于 0: \[ \int_C \frac{1}{z-a} ~\mathrm{d}z - \int_{\odot} \frac{1}{z-a} ~\mathrm{d}z = 0 \]

上述证明过程同样也可以将例 4 的结果推广到任意环绕奇点的闭合曲线 \(C\) 上: \[ \int_C \frac{1}{(z-a)^n} ~\mathrm{d}z = 0, \quad \forall n>1 \] 式 (8) 可以说是复积分中最重要的积分, 因为我们还可以将它进一步地推广. 对任意在区域 \(S\) 上解析的函数 \(f(z)\), \(f(z)/(z-a)\) 在 \(z=a\) 处奇异. 但是我们可以构造函数 \(F(z)\): \[ F(z) = \frac{f(z) - f(a)}{z-a} \] 函数 \(F\) 在 \(z=a\) 处是解析的 (用专业的术语说, \(z=a\) 是函数 \(F(z)\) 的可去奇点), 因此在区域 \(S\) 中, 包含奇点 \(z=a\) 的闭合曲线 \(C\) 上的积分等于 0: \[ \int_{C} F(z) ~\mathrm{d}z = 0 \quad \Rightarrow \quad \int_C \frac{f(z)}{z-a} ~\mathrm{d}z - 2\pi i f(a) = 0 \] 这样我们就得到了 Cauchy 积分公式:

Cauchy's integral formula

If \(a\) is any point inside the simple closed curve \(C\), and \(f\) is analytic inside and on \(C\), then \[ f(a) = \frac{1}{2\pi i} \int_C \frac{f(z)}{z-a} ~\mathrm{d}z \tag{10} \]

以下摘自教材中对公式 (10) 的解释:

To know \(f\) on \(C\) is to know \(f\) everywhere inside; there is not much freedom for analytic functions. Equation (8) was the special case \(f=1\)​.

知道 \(f\) 在曲线 \(C\) 上的值, 就等于知道 \(f\) 在曲线内部每一点处的值. 对于解析函数而言, 没有太多可自由发挥的空间. 式 (8) 是上式 \(f \equiv 1\) 的特例.

知道解析函数 \(f\) 在曲线 \(C\) 上的值, 还可以确定内部每一点的导数值, 如果将式 (10) 看作是关于 \(a\) 的函数, 两边对 \(a\) 求导数得到 \[ f'(a) = \frac{1}{2\pi i} \int_C \frac{f(z)}{(z-a)^2} ~\mathrm{d}z \tag{12} \] 由此还可以推广到任意高阶导数. 所以说, 解析函数性质是非常好的, 但因此解析函数的性态会受到诸多限制. 应用 Cauchy 积分公式, 可以直接得到一些对一般解析函数定性上的限制, 比如说,

解析函数的极值原理

如果函数 \(f\) 是解析的, 那么 \(|f|\) 的最大值只会在边界上取到.

在这里我们只给出边界为圆的证明. 考虑以点 \(z=a\) 为中心, 半径为 \(R\) 的圆 \(\odot\), 根据式 (10) 有 \[ f(a) = \frac{1}{2\pi } \int_{0}^{2\pi} f(a + R e^{i\theta}) ~\mathrm{d}\theta \] 上式右端恰好等于 \(f(z)\) 在圆 \(\odot\) 上的积分平均. 因此, 除非在圆 \(\odot\) 上 \(f \equiv \mathrm{const}\), 否则必然存在某一点 \(z_0\), 使得 \(|f(z_0)| > |f(a)|\). 对上式取实部, 就可以用来说明 Laplace 方程的极值原理.

如果更进一步， 考虑式 (12) 在圆上的曲线积分: \[ f'(a) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\odot} \frac{f(z)}{(z-a)^2} ~\mathrm{d}z = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \frac{f(a + R e^{i\theta})}{R e^{i\theta}} ~\mathrm{d}\theta \] 按照与极值原理证明相同的方法, 点 \(a\) 的导数模 \(|f'(a)| < |f(z_0)|/R\), 其中 \(z_0\) 为任意环绕点 \(a\) 曲线上的某一点. 在对 \(|f'(a)|\) 的估计式右端出现了与曲线尺寸相关的参数 (半径 \(R\)), 如果 \(f\) 在整个复平面有界, 那么 \(|f'(a)| < C/R\) 对任意 \(R\) 成立, 这就等价于 \[ f'(a) \equiv 0, \quad \forall a \in \mathbb{C} \] 所以 \(f\) 只能是常数. 这就是 Liouville 定理:

Liouville 定理

如果函数 \(f\) 是在整个复平面上解析且有界, 那么 \(f\) 一定是常数.

Liouville 定理反过来可以说明, 如果函数 \(f\) 在整个复平面上有界, 并且不等于常数, 那么函数 \(f\) 在复平面上必定存在极点. 例如, 函数 \(f(z) = 1/(1+z^2)\) 在整个复平面上的模值小于等于 1. 虽然在实数轴上, 函数 \(1/(1+x^2)\) 都是有意义的, 但是如果放到整个复平面上来看, 函数 \(f(z)\) 存在两个极点, \(z=i\) 和 \(z=-i\).