解析函数与 Laplace 方程

参考文献: Gilbert Strang, Introduction to applied mathematics

在这篇文章中, 我将从求解微分方程出发, 只引入必要的复分析方法作为工具. 此外, 因为复数 \(z\) \[ z = x + iy, \quad x,y \in \mathbb{R} \] 只包含两个实数变量, 所以方程的定解域也限制在二维平面上.

待求解的微分方程为 Laplace 方程: \[ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0 \] 我们断言: 函数 \(f(z) = f(x + iy)\) 自动满足 Laplace 方程. 这是因为根据链式法则, 对 \(x\) 的二阶偏导数为 \[ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}z} \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}z}, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\mathrm{d}^2f}{\mathrm{d}z^2} \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\mathrm{d}^2f}{\mathrm{d}z^2} \] 而在对 \(y\) 求偏导数时, 会多出 \(i^2 = -1\) 的因子: \[ \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}z} \frac{\partial z}{\partial y} = i\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}z}, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = (i^2) \frac{\mathrm{d}^2f}{\mathrm{d}z^2} = - \frac{\mathrm{d}^2f}{\mathrm{d}z^2} \] 所以有 \[ i \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial y}, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0 \tag{1} \] 但是, \(f(x+iy)\) 给出的是复数形式的解, 而我们感兴趣的是实数域 \((x,y) \in \mathbb{R}^2\) 上的解. 事实上, 如果我们将函数 \(f\) 写成实数与虚数两部分: \[ f(x+iy) = u(x,y) + i v(x,y), \quad u,v: \mathbb{R}^2 \mapsto \mathbb{R} \] 那么 \(u\), \(v\) 均满足 Laplace 方程.

验证 \(f(z)\) 的实部和虚部满足 Laplace 方程

\[ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + i \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + i \frac{\partial^2 v}{\partial y^2}, \quad \Delta f = \Delta u + i\Delta v \]

而函数 \(f\) 满足 Laplace 方程, 所以 \[ \Re (\Delta f)=0, \quad \Im (\Delta f)=0 \] 这就得到 \[ \Delta u = 0, \quad \Delta v = 0 \] 我们还可以验算一个不平凡的算例, 比如 \(f(z) = z^3\), \[ f(x+iy) = x^3-3xy^2 + i (3x^2y - y^3) \] 所以, 函数 \(f\) 的实部 \(u(x,y) = x^3 - 3xy^2\) 验算结果为 \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 6x, \quad \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -6x \Rightarrow \Delta u = 0 \] 以及函数 \(f\) 的虚部 \(v(x,y) = 3x^2y - y^3\) 验算结果为 \[ \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} = 6y, \quad \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = -6y \Rightarrow \Delta v = 0 \] 最后一个例子是在求解圆盘上的 Laplace 方程时, 我们给出解的级数形式为 \[ u(r,\theta) = \frac{a_0}{2} + a_1 r \cos \theta + b_1 r \sin \theta + a_2 r^2 \cos 2\theta + b_2 r^2 \sin 2\theta + \cdots \] 级数项 \(r^n\cos n \theta\), \(r^n \sin n\theta\) 自动满足 Laplace 方程, 这是因为它们分别来自于 \(f(z) = z^n\) 的实部和虚部.

需要强调的是, 并不是所有的函数都可以写成某一个关于复数 \(z\) 函数的实部或者虚部, 这样的话, 所有的函数都会满足 Laplace 方程, 那么求解该方程的行为就变成平凡的了. 例如函数 \(u(x,y) = x^2 + y^2\), 可以快速验证 \(\Delta u =4 \neq 0\).

任意函数 \(f(x,y)\) 均可以表示为 \(f(z,\bar z)\), 如果使用变量替换 \[ x = \frac{z + \bar z}{2}, \quad y = \frac{z - \bar z}{2i} \] 例如 \(u(x,y)=x^2 + y^2\) 写成关于 \((z, \bar z)\) 的函数为 \(u(z, \bar z) = z \bar z\).

现在的问题是, 如果给定 \(u\) 和 \(v\), 怎样才能确定组合 \(u + iv\) 是不是一个解析函数? 这就需要用到式 (1) 中一阶导数的结果: \[ i \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial y} \] 将 \(f = u + iv\) 代入得到 \[ - \frac{\partial v}{\partial x} + i \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial y} + i\frac{\partial v}{\partial y} \] 令方程左右两端实部与虚部分别相等, 就得到 Cauchy-Riemann 条件: \[ \boxed{ - \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} } \] 最终总结如下: