推导非线性本构时用到的张量运算

二阶张量 deviatoric 分解

对于二阶张量 \(\boldsymbol{\varepsilon}\), 总可以做如下分解: \[ \boldsymbol{\varepsilon}= \underbrace{\frac{1}{3} \mathrm{tr} \left[\boldsymbol{\varepsilon}\right] \mathbf{I}} _{:= {\boldsymbol{\varepsilon}}^\mathrm{vol}} + \underbrace{\boldsymbol{\varepsilon}- \frac{1}{3} \mathrm{tr} \left[\boldsymbol{\varepsilon}\right] \mathbf{I}} _{:= {\boldsymbol{\varepsilon}}^\mathrm{dev}}, \] deviatoric 分解的性质为:

1. 算子 \({(\cdot)}^\mathrm{vol}\) 和 \({(\cdot)}^\mathrm{dev}\) 是线性算子, i.e. \[ {(\lambda\boldsymbol{\varepsilon}_1 + \mu\boldsymbol{\varepsilon}_2)}^\mathrm{vol} = \lambda{\boldsymbol{\varepsilon}}^\mathrm{vol}_1 + \mu{\boldsymbol{\varepsilon}}^\mathrm{vol}_2, \quad {(\lambda\boldsymbol{\varepsilon}_1 + \mu\boldsymbol{\varepsilon}_2)}^\mathrm{dev} = \lambda{\boldsymbol{\varepsilon}}^\mathrm{dev}_1 + \mu{\boldsymbol{\varepsilon}}^\mathrm{dev}_2, \]

2. 偏张量的迹等于 0: \[ \mathrm{tr} \left[{\boldsymbol{\varepsilon}}^\mathrm{dev}\right] = \mathrm{tr} \left[\boldsymbol{\varepsilon}\right] - \frac{1}{3} \mathrm{tr} \left[\boldsymbol{\varepsilon}\right] \mathrm{tr} \left[\mathbf{I}\right] = 0; \]

3. volumatric 部分和 deviatoric 部分双点积结果为 0: \[ {\boldsymbol{\sigma}}^\mathrm{dev} : {\boldsymbol{\varepsilon}}^\mathrm{vol} = \frac{1}{3} \mathrm{tr} \left[\boldsymbol{\varepsilon}\right] {\boldsymbol{\sigma}}^\mathrm{dev} : \mathbf{I} = \frac{1}{3} \mathrm{tr} \left[\boldsymbol{\varepsilon}\right] \mathrm{tr} \left[{\boldsymbol{\sigma}}^\mathrm{dev} \cdot \mathbf{I}\right] = 0. \]

性质 2 使得在计算材料的应变能密度时, 能量可以分解为由静水压力引起的应变能, 和材料畸变导致的应变能: \[ \boldsymbol{\sigma}: \boldsymbol{\varepsilon}= {\boldsymbol{\sigma}}^\mathrm{vol}:{\boldsymbol{\varepsilon}}^\mathrm{vol} + {\boldsymbol{\sigma}}^\mathrm{dev}:{\boldsymbol{\varepsilon}}^\mathrm{dev}, \]

四阶单位张量

四阶单位张量有三种, 写成分量形式为: \[ \mathcal{A}_{ijkl} = \delta_{ij}\delta_{kl}, \quad \mathcal{B}_{ijkl} = \delta_{ik}\delta_{jl}, \quad \mathcal{C}_{ijkl} = \delta_{il}\delta_{jk}. \] 定义如下两种四阶张量符号: \[ \{\mathbf{I}\otimes \mathbf{I}\}_{ijkl} = \mathcal{A}_{ijkl}, \quad \{\mathbb{I}\}_{ijkl} = \frac{1}{2}(\mathcal{B}_{ijkl} + \mathcal{C}_{ijkl}). \] 二阶对称张量 \(\boldsymbol{\sigma}\) 分别与四阶单位张量 \(\mathbf{I}\otimes \mathbf{I}\), \(\mathbb{I}\) 双点积的结果为 \[ \begin{gathered} \mathbf{I}\otimes \mathbf{I}:\boldsymbol{\sigma}= \boldsymbol{\sigma}:\mathbf{I}\otimes \mathbf{I}= \delta_{ij}\delta_{kl} \sigma_{kl} = \delta_{ij} \sigma_{kk} = \mathrm{tr} \left[\boldsymbol{\sigma}\right]\mathbf{I};\\ \mathbb{I}:\boldsymbol{\sigma}= \boldsymbol{\sigma}:\mathbb{I}= \frac{1}{2} (\delta_{ik}\delta_{jl}\sigma_{kl} + \delta_{il}\delta_{jk}\sigma_{kl} ) = \frac{1}{2}(\sigma_{ij}+\sigma_{ji}) = \boldsymbol{\sigma}.\end{gathered} \] 如果用 Voigt 记法将四阶单位张量表示为矩阵的形式, 那么 \[ [\mathbf{I}\otimes \mathbf{I}]= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad [\mathbb{I}] = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}. \label{eq:idtt_voigt} \]

\([\mathbb{I}]\) 在 Voigt 记法中并不是 \(\mathbb{R}^{6 \times 6}\) 的单位矩阵, 这是因为 Voigt 映射规则将张量 \(\mathcal{B}\) 和 \(\mathcal{C}\) 分别映射为 \[ [\mathcal{B}] = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad [\mathcal{C}] = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \]

各向同性弹性张量的不同表示方法

对于各向同性材料, 四阶弹性模量张量 \(L_{ijkl}\) 可以用 \(\rm Lam\acute{e}\) 系数表示为 \[ L_{ijkl} \triangleq \lambda \delta_{ij} \delta_{kl} + \mu \delta_{ik} \delta_{jl} + \mu \delta_{il} \delta_{jk}, \] 将上式写成张量形式 \(\mathbb{L}\) 为 \[ \mathbb{L} = \lambda \mathbf{I}\otimes \mathbf{I}+ 2\mu \mathbb{I}. \] 同样的, 我们也可以将柔度张量写为 \[ \mathbb{M} = -\frac{\lambda}{2\mu(3\lambda + 2\mu)} \mathbf{I}\otimes\mathbf{I} + \frac{1}{2\mu} \mathbb{I} \] 也可以用常数 \(K\) 与 \(\mu\), 将 \(\mathbb{L}\) 写成类似于二阶张量 deviatoric 分解的形式: \[ \mathbb{L}:= K \mathbf{I}\otimes \mathbf{I}+ 2\mu \left(\mathbb{I}- \frac{1}{3}\mathbf{I}\otimes \mathbf{I}\right). \tag{1} \] 式中, \(K = \lambda + \frac{2}{3}\mu\). 又因为 \[ \begin{gathered} \mathbf{I}\otimes \mathbf{I}: {\boldsymbol{\varepsilon}}^\mathrm{vol} = 3{\boldsymbol{\varepsilon}}^\mathrm{vol}, \quad \mathbf{I}\otimes \mathbf{I}: {\boldsymbol{\varepsilon}}^\mathrm{dev} = 0,\\ \left(\mathbb{I}- \frac{1}{3}\mathbf{I}\otimes \mathbf{I}\right) : {\boldsymbol{\varepsilon}}^\mathrm{vol} = 0, \quad \left(\mathbb{I}- \frac{1}{3}\mathbf{I}\otimes \mathbf{I}\right) : {\boldsymbol{\varepsilon}}^\mathrm{dev} = {\boldsymbol{\varepsilon}}^\mathrm{dev}, \end{gathered} \] 所以如果使用式 (1) 的表示方法, 对应变的 deviatoric 分解作双点积运算, 交叉项等于 0, 由此得到更紧凑的结果: \[ \begin{aligned} \mathbb{L}:({\boldsymbol{\varepsilon}}^\mathrm{vol} + {\boldsymbol{\varepsilon}}^\mathrm{dev}) &= K \mathbf{I}\otimes \mathbf{I}: {\boldsymbol{\varepsilon}}^\mathrm{vol} + 2\mu \left(\mathbb{I}- \frac{1}{3}\mathbf{I}\otimes \mathbf{I}\right):{\boldsymbol{\varepsilon}}^\mathrm{dev} \\ &= 3K {\boldsymbol{\varepsilon}}^\mathrm{vol} + 2\mu {\boldsymbol{\varepsilon}}^\mathrm{dev}. \end{aligned} \]

张量导数

二阶对称张量 \(\boldsymbol{\sigma}\) 对自身的导数为 \[ \frac{\partial\boldsymbol{\sigma}}{\partial\boldsymbol{\sigma}} = \mathbb{I}. \] 张量的迹\(\mathrm{tr} \left[\boldsymbol{\sigma}\right]\) 对张量 \(\boldsymbol{\sigma}\) 的导数为 \[ \frac{\partial\mathrm{tr} \left[\boldsymbol{\sigma}\right]}{\partial\boldsymbol{\sigma}} = \frac{\partial\sigma_{kk}}{\partial\sigma_{ij}} = \delta_{ij} = \mathbf{I}. \] 偏张量 \({\boldsymbol{\sigma}}^\mathrm{dev}\) 对张量\(\boldsymbol{\sigma}\) 的导数为 \[ \frac{\partial \boldsymbol{\sigma}^{\mathrm{dev}}}{\partial \boldsymbol{\sigma}}=\frac{\partial\left(\boldsymbol{\sigma}-\frac{1}{3} \operatorname{tr}[\sigma] \mathbf{I}\right)}{\partial \boldsymbol{\sigma}}=\mathbb{I}-\frac{1}{3} \mathbf{I} \otimes \mathbf{I} \] 若二阶张量的范数定义为张量的双点积 \[ \|\boldsymbol{\sigma}\|^2 := \mathrm{tr} \left[\boldsymbol{\sigma}\cdot \boldsymbol{\sigma}\right] = \sigma_{ij}\sigma_{ij}. \] 那么张量范数的导数为 \[ \frac{\partial\|\boldsymbol{\sigma}\|}{\partial\boldsymbol{\sigma}} = \frac{1}{2\|\boldsymbol{\sigma}\|} (\mathbb{I}:\boldsymbol{\sigma}+ \boldsymbol{\sigma}:\mathbb{I}) = \frac{\boldsymbol{\sigma}}{\|\boldsymbol{\sigma}\|} := \boldsymbol{n}_{\boldsymbol{\sigma}}. \] 注意到 \[ {\boldsymbol{\sigma}}^\mathrm{dev}:\mathbf{I}\otimes \mathbf{I}= \mathrm{tr} \left[{\boldsymbol{\sigma}}^\mathrm{dev}\right]\mathbf{I}=0, \] 因此 \[ \frac{\partial\left\|\boldsymbol{\sigma}^{\mathrm{dev}}\right\|}{\partial \boldsymbol{\sigma}}=\frac{\boldsymbol{\sigma}^{\mathrm{dev}}}{\left\|\boldsymbol{\sigma}^{\mathrm{dev}}\right\|}: \frac{\partial \boldsymbol{\sigma}^{\mathrm{dev}}}{\partial \boldsymbol{\sigma}}=\frac{\boldsymbol{\sigma}^{\mathrm{dev}}}{\left\|\boldsymbol{\sigma}^{\mathrm{dev}}\right\|} . \] 张量法向 \(\boldsymbol{n}_{\boldsymbol{\sigma}}\) 对张量 \(\boldsymbol{\sigma}\) 求导数, 得到 \[ \frac{\partial\boldsymbol{n}_{\boldsymbol{\sigma}}}{\partial\boldsymbol{\sigma}} = \frac{1}{\|\boldsymbol{\sigma}\|} (\mathbb{I}- \boldsymbol{n}_{\boldsymbol{\sigma}} \otimes \boldsymbol{n}_{\boldsymbol{\sigma}}). \]