从一般的应变张量到小变形和小转动

小变形问题

在有限变形的框架下, 使用物质坐标系和空间坐标系描述应变的度量分别为 Lagrange 应变和 Euler 应变: \[ E \triangleq \frac{1}{2}(F^{\top} F - I), \quad e \triangleq \frac{1}{2}(I - F^{-\top} F^{-1}) \tag{1} \] 式中的 \(F\) 和 \(F^{-1}\) 分别为 \[ F_{iI} = \frac{\partial x_i}{\partial X_I}, \quad F_{Ii}^{-1} = \frac{\partial X_I}{\partial x_i} \] 如果引入位移梯度为 \[ \nabla u \triangleq \frac{\partial u_i}{\partial X_I} = F - I, \quad \nabla_x u \triangleq \frac{\partial u_I}{\partial x_i} = I - F^{-1} \tag{2} \] 这样, 使用位移表示 Lagrange 和 Euler 应变分别为 \[ 2E_{IJ} = \left( \frac{\partial u_k}{\partial X_I} + \delta_{kI} \right) \left( \frac{\partial u_k}{\partial X_J} + \delta_{kJ} \right) - \delta_{IJ} = \frac{\partial u_I}{\partial X_J} + \frac{\partial u_J}{\partial X_I} + \frac{\partial u_k}{\partial X_J} \frac{\partial u_k}{\partial X_I}, \\ 2e_{ij} = \delta_{ij} - \left( \delta_{iK} - \frac{\partial u_K}{\partial x_i} \right) \left( \delta_{jK} - \frac{\partial u_K}{\partial x_j} \right) = \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} - \frac{\partial u_K}{\partial x_j} \frac{\partial u_K}{\partial x_i} \tag{3} \] 小位移的假设为: 位移梯度远小于 1, 或者写成数学的形式为 \[ \|\nabla u \| = \| F - I \| \ll 1, \quad \| \nabla_x u \| = \| I - F^{-1} \| \ll 1 \tag{4} \]

[!NOTE]

位移梯度远小于1, 并不意味着位移远小于 1. 可以考虑在小变形的基础上附加一个大的刚体位移, 位移梯度可以通过一阶导数将常数项的刚体位移抹除掉.

接下来将说明, 在小位移假设下, 可以不加区别地使用物质坐标或空间坐标描述位移梯度, 也即 \[ \boxed{ \nabla_x u \simeq \nabla u } \tag{5} \] 根据式 (2), 位移关于空间坐标的导数为 \[ \nabla_x u = I - F^{-1} \] 对 \((I + \square)^{-1}\) 型列式进行渐进展开, 得到 \[ \nabla_x u = I - (I + F -I)^{-1} \sim (F-I) - (F-I)^2 + (F-I)^3 + \cdots \] 又因为 \(\nabla u = F -I\), 所以 \[ \nabla_x u \sim \nabla u - (\nabla u)^2 + (\nabla u)^3 + \cdots \] 忽略高阶项, 就得到式 (5) 的结论.

因此, 式 (3) 得到的应变在不同坐标表示下的两种应变度量, 在小位移假设下, 忽略位移梯度的高阶项, coincide: \[ E_{ij} \simeq e_{ij} \simeq \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \triangleq \varepsilon_{ij} \] 另一种思路是考虑 Lagrange 应变的定义: \[ E = \frac{1}{2}(F^{\top} F - I) = \frac{1}{2} \left( (F-I)^{\top} (F-I) + (F + F^{\top}) - 2I \right) \] 忽略式中出现的 \((F-I)\) 的二阶项, 就得到小应变的变形梯度表示: \[ \boxed{ \varepsilon \triangleq \frac{1}{2}(F + F^{\top}) - I, \quad \text{or} \quad \varepsilon \triangleq \frac{1}{2}(\nabla u + \nabla u^{\top}) } \tag{6} \] 变形的正确描述应能避开刚体位移, 然而式 (6) 提供的变形描述方式无法回避刚体转动. 例如, 考虑绕 \(x_3\) 逆时针的转动, 在给定的坐标系下 (这里考虑物质坐标系和参考坐标系使用同一套基底), 变形梯度可以写成矩阵的形式: \[ {\rm F} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \] 代入到式 (6) 中, 得到非零的小变形: \[ [\varepsilon] = \begin{bmatrix} \cos \theta -1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \] 不过, 上式得到的应变是关于 \(\theta\) 的二阶小量. 在位移梯度和转角同阶的情况下, 由转动引起的应变相对于位移引起的应变是可以忽略的.

[!NOTE]

如果定义应变为 \[ \varepsilon \triangleq \nabla u \] 那么, 由刚体转动引入的应变分量是关于转角 \(\theta\) 的一阶小量: \[ [\varepsilon] = \begin{bmatrix} \cos \theta -1 & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \]

小转动问题

一般的, 绕轴 \(n\) 按照右手定则转动 \(\theta\) 的变形公式为 \[ \boldsymbol{x} = (n \cdot X) \boldsymbol{n} + \cos \theta \left( X - (n\cdot X)\boldsymbol{n} \right) + \sin \theta ~\boldsymbol{n} \times \boldsymbol{X} \] 写成分量的形式为 \[ x_i = ((1-\cos \theta)n_i n_k + \cos \theta \delta_{ik} + \sin \theta e_{ijk} n_j) X_k \] 记旋转矩阵 \(R(\theta)\) 为 \[ R_{ik}(\theta) \triangleq (1-\cos \theta)n_i n_k + \cos \theta \delta_{ik} + \sin \theta e_{ijk} n_j \] 如果 \(\theta \ll 1\), 那么 \(1-\cos \theta \sim \theta^2/2\), \(\cos \theta \sim 1\), \(\sin \theta \sim \theta\). 忽略关于 \(\theta\) 的高阶小量, 就得到 \[ x_i = ( \delta_{ik} + \theta e_{ijk} n_j) X_k, \quad u_i = \theta e_{ijk} n_j X_k,\quad \boldsymbol{u} = \theta \boldsymbol{n} \times \boldsymbol{X} \] 因此, 小转动引起的位移梯度为 \[ u_{i,I} = \theta e_{ijI} n_j, \quad [\nabla u] = \theta \begin{bmatrix} 0 & -n_3 & n_2 \\ n_3 & 0 & -n_1 \\ -n_2 & n_1 & 0 \end{bmatrix} \] 对于一般的小位移, 定义小转动二阶张量 \(\Omega\) 为 \[ \boxed{ \Omega \triangleq \frac{1}{2} (F - F^{\top}), \quad \text{or} \quad \Omega \triangleq \frac{1}{2} (\nabla u - \nabla u^{\top}) } \tag{7} \] 根据定义, 张量 \(\Omega\) 是反对称张量, 这也意味着该张量可以表示为一个向量与置换张量的线性组合, 定义旋转向量 \(\omega\) 为 \[ \Omega_{ij} \triangleq - e_{ijk} \omega_k, \quad \text{or} \quad \omega_{i} \triangleq-\frac{1}{2} e_{ijk} \Omega_{jk} \] 在上述定义下, 有 \[ \Omega a = \omega \times a, \quad \forall a \in \mathbb{R}^3 \tag{8} \] 如果我们定义旋度 \(\rm curl\) 运算为 \[ \mathrm{curl}~ \boldsymbol{v} \triangleq \nabla \times \boldsymbol{v} = e_{ijk} ~\boldsymbol{e}_i\frac{\partial ~}{\partial x_j} v_k = e_{ijk} \frac{\partial v_j}{\partial x_i} ~\boldsymbol{e}_k \] 另一种与上式等价的旋度定义为 \[ ( \nabla v - \nabla v^{\top}) a \equiv (\mathrm{curl}~ v) \times a, \quad \forall a \in \mathbb{R}^3 \] 对比上式式 (7) , 再根据式 (8), 就得到 \[ \omega = \frac{1}{2} \mathrm{curl}~ u \] 综合应变与旋转张量的定义 (7) 和 (8), 可以看到, 小变形的应变是位移梯度的对称部分, 旋转是位移梯度的反对称部分.