应力度量
Pull-back 和 push-forword 操作
变形梯度不仅将参考构型中的微元 \(\mathrm{d}X\) 映射为当前构型中的微元 \(\mathrm{d}x\), 同时作为两点张量, 还将物质形式的物理量映射到空间形式的物理量. 因此, 对于空间向量 \(v_{i}(x,t)\), 我们可以从数学的意义上, 将该变量 pull back 到物质坐标表示的物质形式的向量 \(V_I(X,t)\): \[ V_I(X,t) \triangleq F_{Ii}^{-1} v_{i}(\varphi(X,t), t) \] 类似的, 也可以将用物质形式的向量 \(G_{I}\), push forward 到空间形式的向量 \(g_i\): \[ g_i(x,t) \triangleq F_{iI} G_{I}(\varphi^{-1}(x,t), t) \] 如果使用变形梯度作为对向量前推后拉的操作运算, 那么除了使用 \(F_{iI}\), \(F_{Ii}^{-1}\) 之外, 还可以使用变形梯度的转置 \(F_{iI}^{-\top}\), \(F_{Ii}^{\top}\). 对每一个指标, 有两种前推 \(\{ F_{iI}, F_{iI}^{-\top} \}\) 后拉 \(\{ F_{Ii}^{-1}, F_{Ii}^{T} \}\) 的方式. 因此, 如果推广到对二阶张量的前推后拉操作, 每种运算有四种方式.
Cauchy 应力的定义
在 Spencer 的连续介质力学书中, Cauchy 应力定义为 \[ t^{(i)} = \sigma_{ij} e_{j}, \quad \mathrm{or} \quad \sigma_{ij} \triangleq t^{(i)} \cdot e_{j} \] 这样得到的平衡方程为 \[ \nabla \cdot \sigma + \rho b = 0, \quad \mathrm{or} \quad \sigma_{ji,j} + \rho b_{i} = 0 \tag{1} \] 而我熟悉的平衡方程为 \[ \sigma_{ij,j} + \rho b_i = 0 \] 这是因为定义应力分量的方式不同. 如果将应力张量看作是一个矩阵, 那么使用 Spencer 的定义方式, 矩阵的每一行代表着在坐标系基矢量法面的作用力 \(t^{(i)}\), 因此, 对于任意方向向量 \(n\) 作用在法向为 \(n\) 的法面上的力为法向分量 \(n_i\) 和 \(t^{(i)}\) 的线性组合: \[ t^{(n)} = n_1 t^{(1)} + n_2 t^{(2)} + n_3 t^{(3)} \] 也即 \[ t^{(n)} = n_i \sigma_{ij} e_{j} = n \cdot \sigma \] 在一些其它的教材上 (Tadmor, 黄筑平), 应力分量定义为 \[ \sigma_{ij} \triangleq e_{i} \cdot t^{(j)} \tag{2} \] 由此得到的平衡方程为 \[ \sigma \cdot \nabla + \rho b = 0, \quad \mathrm{or} \quad \sigma_{ij,j} + \rho b_{i} = 0 \tag{3} \] 由于 \(\sigma\) 是对称张量, 所以式 (1) 等价于式 (3), 但是在定义 P-K 应力时, 就会体现出这两类定义应力方式的区别. 以下均使用式 (2) 的定义方式.
第一类 Piola-Kirchhoff 应力
在推导物质坐标下的动量守恒公式时, 我们通过积分的参量变换, 得到第一类 Piola-Kirchhoff (以下简称为 PK1) 应力 \(P\) 的定义 \[ \boxed{ P \triangleq J \sigma \cdot F^{-\top} } \tag{4} \] 应力 \(P\) 对应为变形后的平面所受的力在参考构型下的度量. 对于变形前后的面微元 \(\mathrm{d}A\) 和 \(\mathrm{d}a\), 在当前构型下的作用力为 \(f^{(n)}\), 那么 \[ f^{(n)} = \sigma \cdot \mathrm{d}a = P \cdot \mathrm{d}A \tag{5} \] 由上式可知 \(P\) 是两点张量, 与变形梯度 \(F\) 相类似.
[!NOTE]
按照 Spencer 教材的定义, PK1 应力定义为 \[ P \triangleq J F^{-1} \cdot \sigma \] 对应式 (5) 的关系为左乘面微元向量: \[ f^{(n)} = \mathrm{d}a \cdot \sigma = \mathrm{d}A \cdot P \] 因为 PK1 应力不是对称张量, 所以 PK1 与向量缩并时, 左右得到的结果不同.
Kirchhoff 应力
Kirchhoff 应力定义为 \[ \boxed{ \tau \triangleq J \sigma } \tag{6} \] 根据式 (4), 可以得到 PK1 应力与 Kirchhoff 应力之间的关系 \[ P = \tau \cdot F^{-\top} \] 因此, PK1 应力是 Kirchhoff 应力的一个 pull-back
第二类 Piola-Kirchhoff 应力
我们继续考察式 (5), 式中 \(f^{(n)}\) 是在当前构型下的作用力. 按照之前定义的 pull-back 操作, 将作用力后拉到物质形式: \[ f_0^{(n)} \triangleq F^{-1} \cdot f^{(n)} \] 同样使用参考构型的面微元作为应力的度量, 就得到第二类 Piola-Kirchhoff 应力的定义: \[ S \triangleq F^{-1} P, \quad \mathrm{or} \quad S \triangleq J F^{-1} \cdot \sigma \cdot F^{-\top} \]
[!TIP]
例: 不可压缩杆的单轴拉伸
对一根沿 \(E^1\) 方向摆放的杆施加轴向力 \(f\), 杆长度从 \(L\) 拉伸至 \(l\), 假设杆变形均匀, 对应的变形梯度为 \[ F = \begin{bmatrix} \alpha & & \\ & \frac{1}{\sqrt{\alpha}} & \\ & & \frac{1}{\sqrt{\alpha}} \end{bmatrix} \] 式中, \(\alpha \triangleq l/L\)设杆的初始横截面积为 \(A\), 拉伸后变为 \(a\), 其关系为 \(a = A/\alpha\). 杆内的 Cauchy 应力只有 \(\sigma_{11}\) 非零: \[ \sigma_{11} = \frac{f}{a} = \alpha \frac{f}{A} \] 对应 PK1 应力为 \[ P_{iI} = J \sigma_{ij} F_{Ij}^{-1} \Rightarrow P_{11} = \frac{f}{A}, \quad P_{iI} = 0 ~(iI \neq 11) \] 以及 PK2 应力为 \[ S_{IJ} = F_{Ii}^{-1} P_{iJ} \Rightarrow S_{11} = \frac{f}{\alpha A}, \quad S_{IJ} = 0 ~(IJ \neq 11) \]
Corotational 应力
对于高维空间中的低维单元 (例如三维空间中的杆端元, 膜单元等), 应用坐标变换, 将张量的分量转化为随体坐标系下可以简化问题的计算. 设在宏观坐标系下的单元坐标为 \(x_{\alpha}\), 随体坐标系下单元坐标为 \(x'_i\) 由此得到坐标变换关系为 \[ x'_i = Q_{\alpha i} x_{\alpha} \] 式中, \(Q_{\alpha i} \triangleq e_{\alpha} \cdot e'_{i}\). 对应应力分量的变换关系为 \[ \sigma'_{ij} = Q_{\alpha i} Q_{\beta j} \sigma_{\alpha \beta} \] 记成张量的形式为 \[ \sigma' = Q^{\top}\cdot \sigma\cdot ~Q \]
[!TIP]
例: 应力旋转
设在初始状态下, 材料在某一点处的应力状态为 \[ \sigma_0 = \begin{bmatrix} \sigma_x^0 & \\ & \sigma_y^0 \end{bmatrix} \] 材料经 \(90\) 度逆时针旋转到当前构型, 对应的变形梯度为 \[ F = \begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad J = 1 \] 以及相应的坐标变换张量为 \[ Q = \begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} = F \] 假想应力 固定 在材料中, 因此旋转后, 材料的应力状态为 \[ \sigma = \begin{bmatrix} \sigma_y^0 & \\ & \sigma_x^0 \end{bmatrix} \] 对应的 PK1 应力为 \[ P = J \sigma \cdot F^{-\top} = \begin{bmatrix} & -\sigma_y^0\\ \sigma_x^0 & \end{bmatrix} \] 以及 PK2 应力为 \[ S = F^{-1} \cdot P = \begin{bmatrix} \sigma_x^0 & \\ & \sigma_y^0 \end{bmatrix} = \sigma_0 \] corotational 应力为 \[ \sigma' = Q^{\top}\cdot \sigma\cdot ~Q = \begin{bmatrix} \sigma_x^0 & \\ & \sigma_y^0 \end{bmatrix} = \sigma_0 \]
功共轭意义下的应力张量
在能量守恒公式中, 材料边界处外力做功, 通过散度定理转化为体积分之后得到 \[ I = \int_{B} \sigma : D ~\mathrm{d}x \] 如果将上述积分转化到参考构型下, 就得到 \[ I = \int_{B_0} J \sigma : D ~\mathrm{d}X \] 这一项在能量方程中出现, 因此与应变的度量无关, 因此积分项 \(J \sigma : D\) 也与应变的度量无关. 如果定义应力应变 (Langrange 意义下) 分别为 \(T\) 和 \(E\), 并且满足 \[ \boxed{ T:\dot{E} = J \sigma : D } \tag{7} \] 就称应力 \(T\) 和 应变 \(E\) 是功共轭的. 例如对于 Green 应变 \[ \dot{E} = F^{\top} \cdot D \cdot F \Rightarrow T : \dot{E} = (F \cdot T \cdot F^{\top}) : D \] 对比式 (7) 得到 \[ F \cdot T \cdot F^{\top} = J \sigma \quad \] 所以与 Green 应变功共轭的应力为 PK2 应力.