张量场的积分定理

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首先, 我们先定义梯度, 散度和旋度的概念, 并特别强调对于高阶张量的定义, 这将规范我们使用的 notation. 然后, 我们以二维空间为例, 引出散度定理, Stokes 公式和 Gauss 公式. 最后, 我们再给出一般的张量场中这三种公式的形式.

梯度, 散度和旋度

我们引入记号 \(\nabla\), \(\nabla \cdot\), \(\nabla \times\), 分别表示梯度, 散度和旋度. 我们首先介绍这三种运算最简单的情况, 然后再推广到一般的张量空间当中.

对标量场的梯度运算, 得到的是一个向量场: \[ \nabla \phi = \frac{\partial \phi\ }{\partial x_i} e_i \] 对向量场的散度运算, 得到的是一个标量场: \[ \nabla \cdot v = \frac{\partial v_i}{\partial x_i} \] 对向量场的旋度运算, 得到的仍是一个向量场: \[ \nabla \times v = \begin{vmatrix} i & j & k \\ \dfrac{\partial \ }{\partial x_1} & \dfrac{\partial \ }{\partial x_1} & \dfrac{\partial \ }{\partial x_1} \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} \] 可以看到, 上述运算分别将原本张量的阶数提升(梯度)或下降(散度)一阶, 或者保持不变(旋度). 推广到高阶之后情况也是相同, 但需要特别强调的是, 因为高阶张量 (二阶及以上) 引入了指标的排序, 所以即使所有分量所构成的集合相同, 排列不同, 也是不同的张量.

我们定义高阶张量的梯度运算为 \[ \boxed{ \nabla B \triangleq e_k \otimes \frac{\partial B}{\partial x_k}, \quad B \nabla \triangleq \frac{\partial B}{\partial x_k} \otimes e_k } \tag{1} \] 例如, 向量场 \(v\) 的梯度为二阶张量 \[ \nabla v = v_{j,i} e_{i} \otimes e_{j}, \quad v \nabla = v_{i,j} e_{i} \otimes e_{j} \] 所以 \[ \nabla v = (v \nabla)^{\top} \] 定义张量的散度运算为 \[ \boxed{ \nabla \cdot B \triangleq e_k \cdot \frac{\partial B}{\partial x_k}, \quad B \cdot \nabla \triangleq \frac{\partial B}{\partial x_k} \cdot e_k } \tag{2} \] 例如, 二阶张量场 \(\sigma\) 的散度为向量场 \[ \nabla \cdot \sigma = \sigma_{ij,i} e_j , \quad \sigma \cdot \nabla = \sigma_{ij,j} e_i \] 定义张量的旋度运算为 \[ \boxed{ \nabla \times B \triangleq e_k \times \frac{\partial B}{\partial x_k}, \quad B \times \nabla \triangleq \frac{\partial B}{\partial x_k} \times e_k } \tag{3} \]

二维空间中向量场的积分定理

Stokes 定理

对于区域 \(S\) 的无旋流动, 以下三个条件是等价的:

  1. 速度场环绕任意闭合路径 \(C\) 的积分等于 0: \[ \oint_{C} v \cdot \mathrm{d} r = 0 \]

  2. 速度场是某一势函数 \(u\) 的梯度: \[ v = \nabla u \]

  3. 速度场的旋度 (vorticity) 等于 0: \[ \mathrm{curl}\ v \triangleq \frac{\partial v_y}{\partial x} - \frac{\partial v_x}{\partial y} \equiv 0 \]

条件 1 和 3 的等价性可以通过 Stokes 定理 证明. 在二维情景下, 区域 \(S\) 内对旋度的积分等于在边界 \(C\) 上的第二类曲线积分: \[ \boxed{ \int_{S} \mathrm{curl}\ v \ \mathrm{d}S = \oint_{C} v \cdot \mathrm{d} r } \] 条件 2 和 3 的等价性更加直接. 如果速度场满足条件 2, 同时假设势函数 \(u\) 二阶导数连续, 那么 \[ \mathrm{curl}\ v = \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} \equiv 0 \] 因此, \(\nabla u\) 表征的是空间中的无旋流动. 条件 1 和 3 提供了检验流场有旋无旋的方式, 条件 1 是全局的, 条件 3 是点态的.

[!NOTE]

旋度 \(\mathrm{curl}\) 作用在向量上, 得到的是一个向量场. 在二维情景下, 旋度只在垂直于平面方向的分量不等于 0, 因此这里使用的旋度是标量.

散度定理

以上我们通过势函数的梯度刻画了无旋流动速度场, 接下来将通过数学公式描述物理场的另一种重要的性质: 守恒性质. 类似于上文中的条件 1 和 条件 3, 守恒性质同样也可以通过全局和点态两种方式进行描述:

  1. 对任意闭合曲线, 通量等于 0: \[ \oint_{C} n \cdot v \ \mathrm{d}s = 0 \]

  2. 速度场的散度恒等于 0: \[ \nabla \cdot v \equiv 0 \]

这里的条件 1 和 2 的等价性可以通过散度定理证明: 在区域 \(S\) 中对散度的积分, 等于在边界处 \(C\) 的通量: \[ \boxed{ \int_{S} \nabla \cdot v \ \mathrm{d}S = \oint_{C} n \cdot v \ \mathrm{d}s } \]

Gauss 公式

Gauss 公式是分部积分公式在高维情景下的推广: \[ \int \boldsymbol{w} \cdot \nabla u \ \mathrm{d}S = \int u (-\nabla \cdot \boldsymbol{w}) \ \mathrm{d}S + \int \nabla \cdot (u \boldsymbol{w}) \ \mathrm{d}S \] 上式最后一项可以通过散度定理化简为 \[ \boxed{ \int \boldsymbol{w} \cdot \nabla u \ \mathrm{d}S = \int u (-\nabla \cdot \boldsymbol{w}) \ \mathrm{d}S + \underbrace{\oint u\ \boldsymbol{w} \cdot \boldsymbol{n} \ \mathrm{d}s}_{\bigstar} } \] 这就得到了 Gauss 公式.

一般形式的散度定理

对于区域 \(V\) 上的光滑标量场 \(\varphi\), 并假设边界 \(\partial V\) 分片光滑, 那么以下等式成立: \[ \int_{V} \varphi_{,i} \ \mathrm{d}x = \int_{\partial V} \varphi n_i \ \mathrm{d}\sigma(x), \quad i=1,2,3 \] 首先考虑梯度运算, 写成分量形式为 \[ \int_V \nabla B \ \mathrm{d}x = \int_{V} B_{\cdot,i} e_i \otimes e_{\cdot} \ \mathrm{d}x = \int_{\partial V} B_{\cdot} n_i \ e_i \otimes e_{\cdot} \ \mathrm{d}\sigma(x) = \int_{\partial V} n \otimes B \ \mathrm{d}\sigma(x) \] 再考虑散度运算, \[ \int_{V} \nabla \cdot B \ \mathrm{d}x = \int_{V} B_{i\cdot,i} \ e_{\cdot} \ \mathrm{d}x = \int_{\partial V} B_{i\cdot} n_i \ e_{\cdot} \ \mathrm{d}\sigma(x) = \int_{\partial V} n \cdot B \ \mathrm{d}\sigma(x) \] 最后考虑旋度运算 \[ \int_{V} \nabla \times B \ \mathrm{d}x = \int_{V} B_{\cdot,i} \ e_{i} \times e_{\cdot} \ \mathrm{d}x = \int_{\partial V} B_{\cdot} n_i \ e_{i} \times e_{\cdot} \ \mathrm{d}\sigma(x) = \int_{\partial V} n \times B \ \mathrm{d}\sigma(x) \] 对于右侧的运算也是类似的, 因此, 如果我们定义一般的运算符 \(\divideontimes\), 代表梯度, 散度或旋度的其中一种, 那么 \[ \int_V \nabla \divideontimes B \ \mathrm{d}x = \int_{\partial V} n \divideontimes B \ \mathrm{d}\sigma(x), \quad \int_V B \divideontimes \nabla \ \mathrm{d}x = \int_{\partial V} B \divideontimes n \ \mathrm{d}\sigma(x) \]