张量定义及坐标变换
向量空间的定义
向量空间的定义在此不再赘述, 不过需要补充一些 remarks:
[!NOTE]
- 向量空间只定义了运算的概念, 并没有引入距离, 角度等拓扑概念.
- 向量空间中的“向量”并不局限于后文提到的一阶张量, 而是更抽象的概念, 比如表示全体连续函数的向量空间 \(C^{0}\), 连续函数 \(f\) 是向量空间 \(C^0\) 中的一个元素.
- 向量空间总是需要伴随一个数域 \(\mathbb{F}\), 可以是实数域 \(\mathbb{R}\), 也可以是复数域 \(\mathbb{C}\). 对于有限维的向量空间, 在给定一组基底之后, 就能够定义一个从 \(V\) 到 \(\mathbb{F}^n\) (\(n\) 为向量空间的维度) 的一一映射, 因此 \(V\) 同构于 \(\mathbb{F}^n\)
引入距离 (范数) 定义的是赋范空间. 引入内积定义的空间是内积空间. 内积可以诱导出范数的定义, 通过 \[ \| x \| \triangleq \langle x,x \rangle^{1/2} \] 特别的, 我们定义诱导出 Euclid 距离范数的内积为点积, 记作 \[ \langle a,b \rangle \triangleq a \cdot b \] 在该内积定义下的向量空间为 Euclidean vector space, 记作 \(\vec{E}\). Euclidean vector space 中的元素称为自由向量.
空间 \(\vec{E}\) 的 affine space 称为 Euclidean point space, 记作 \(E\). \(E\) 中的元素一般称为点, 点集 \(E\) 与向量空间 \(\vec{E}\) 之间的关系为: 对任意的一对点 \(P_1\), \(P_2\), 存在自由向量 \(v(P_1,P_2)\), 满足如下条件:
- \(v(P_1,P_2) = v(P_1,P_3) + v(P_3,P_2), \quad \forall P_3 \in E\)
- \(v(P_1,P_2) = v(P_1,P_3) \iff P_2 = P_3\)
当给定空间 \(E\) 中的一个参考点 \(O\) 时, 就可以确定任一点 \(P\) 的位矢 \(x_P \in \vec{E}\) 为 \[ x_P = v(P, O) \] 由此, 任意两点之间的距离, 和三点之间的夹角, 可以通过空间 \(\vec{E}\) 上距离和内积的定义进行计算.
接下来我们将定义坐标系. 最一般的坐标系是曲线坐标系, 它包含一个坐标原点 (由此可以度量空间 \(E\) 中点的位矢), 以及一系列坐标曲线, 每一条坐标曲线对应为某一个坐标分量为常数. 这些曲线在空间中的交汇点给出了这一点的坐标. 以下我们考虑笛卡尔坐标系, 它包含一个坐标原点 \(O \in E\), 和一组规范正交基 \(\{e_i\} \in \vec{E}\). 坐标系 \(\{ O; e_i \}\) 同时定义了空间 \(\vec{E}\) 中向量和点集 \(E\) 中点的坐标:
笛卡尔坐标定义了一个从 \(E\) 到 \(\mathbb{R}^n\) 的同构. 对任意向量(点) \(a\), 可以表示为一个元组 \[ a \cong (a_1, a_2, \ldots, a_n), \quad a = a_i e_i, \quad a_i = a \cdot e_i \] 使用分量表示空间 \(\vec{E}\) 中的内积和距离范数为: \[ a \cdot b = a_i b_i, \quad \|a\| = \sqrt{a_i a_i} \]
基底变换符号约定
考虑两组正交规范基 \(\{e_i'\}\) 和 \(\{e_{\alpha}\}\), 其中指标 \(i\) 表示新坐标系的基底, 上方带 \('\) 是为了区分新旧基底的分量; \(\alpha\) 表示旧坐标系的基底. 新基底 \(e_i'\) 总是能通过旧基底 \(e_{\alpha}\) 表示为 \[ \boxed{ \boldsymbol{e}_i' = Q_{\alpha i} \boldsymbol{e}_{\alpha} } \tag{1} \] 其中, \(Q_{\alpha i}\) 可以写成 \[ Q_{\alpha i} = \boldsymbol{e}_{\alpha} \cdot \boldsymbol{e}'_{i} \] 当基底是正交规范基时, 转换矩阵 \(Q\) 是正交矩阵, 这是因为 \[ \delta_{ij} = e_i' \cdot e_j' = Q_{\alpha i} e_{\alpha} Q_{\beta j} e_{\beta} = Q_{\alpha i}Q_{\alpha j} \] 写成矩阵形式为 \[ QQ^{\top} = I \] 注意到, 矩阵 \(Q\) 的行列式值有两种可能: \(\pm 1\). 当 \(\det Q = +1\) 时, 称 \(Q\) 为 proper orthogonal, 对应为纯旋转; 当 \(\det Q = -1\) 时, 对应为旋转加镜像. 以下默认为 proper orthogonal 情况.
[!NOTE]
一些教材定义矩阵 \(Q\) 的方式与此处不同. 这里行指标是旧基底, 列指标是新基底, 所以, 如果将新基底写成旧基底分量的形式, 对应矩阵 \(Q\) 的列向量是新基底(在旧基底下的分量形式)
向量在不同基底下的坐标变换规则
接下来, 我们考虑向量分量在不同坐标系下的变换规则. 对于向量 \(a\), 在新旧坐标系下的分量分别表示为 \[ a = a_i' e_i' = a_{\alpha} e_{\alpha} \] 将式 (1) 中基底转换关系代入到上式中, 就得到不同坐标系下分量之间的关系 \[ a_i' e_i' = a_i'Q_{\alpha i} e_{\alpha} = a_{\alpha} e_{\alpha} \Rightarrow \boxed{a_{\alpha} = Q_{\alpha i} a_i', \quad a_i' = Q_{\alpha i} a_{\alpha}} \tag{2} \] 因此, 也可以用如上坐标变换关系定义向量.
一般的高阶张量
如果考虑对偶空间 \(V^{*}\), 那么存在 \(v^{*} \in V^{*}\), 使得 \[ v^{*}[u] = v \cdot u, \quad \forall u \in V \] 因此一阶张量除了看作是向量空间 \(V\) 的元素之外, 在同构的意义上, 还可以看作是 \(V\) 上的线性映射. 从这一观点出发, 很容易得到 \(n\) 阶张量的另一种方式, 也就是 \(V\) 的乘积空间上的线性映射: \[ T: \underbrace{V \times \cdots \times V}_{n} \mapsto \mathbb{R} \]
坐标变换
考虑点集 \(E\) 中的一点 \(P\) 在不同的笛卡尔坐标系 \(\{ O; e_\alpha \}\) , \(\{ O'; e_i' \}\) 下的表示. 向量 \(OP\) 表示为 \[ OP = x_{\alpha} e_{\alpha} \] \(O'P\) 表示为 \[ O'P = O'O + OP = O'O + \tilde{x}_i' e_i' \] 如果记 \(O'O = o_i' e_i'\), 再根据式 (2), 可以得到坐标 \(x_\alpha\) 和 \(x_i'\) 之间的关系为 \[ x_i' = o_i' + \tilde{x}_i' = o_i' + Q_{\alpha i} x_{\alpha} \] 坐标变换的偏导数之间的关系为 \[ \frac{\partial x_i'}{\partial x_{\alpha}} = Q_{\alpha i} \] 通过上述关系, 就不难验证, 对于 \(n\) 阶张量场 \(T_{\cdot}\), 其偏导数得到 \(n+1\) 阶张量场. 我们需要验证张量分量的导数 \(T_{\cdot,\alpha}\) 关于指标 \(\alpha\) 的坐标变换关系. \[ T_{\cdot,\alpha} = \frac{\partial T_{\cdot}}{\partial x_{\alpha}} = \frac{\partial T_{\cdot}}{\partial x_{i}'} \frac{\partial x_i'}{\partial x_{\alpha}} = Q_{\alpha i} T_{\cdot,i} \] 由此得到通过求偏导数增加的指标, 是满足坐标变换关系的, 因此 \(T_{\cdot,\alpha}\) 是比 \(T\) 高一阶的张量.