速度梯度及相关推导

伸长率 \(\lambda\) 在参考构型中表示为 \[ \lambda^2 = N C N \] 两边求物质导数, 得到 \[ 2 \lambda \dot{\lambda} = N \dot{C} N \] 其中, \[ \dot{C} = \dot{F}^{\top}F + F^{\top} \dot{F} \] 代入式中, 得到 \[ 2 \lambda \dot{\lambda} = N \dot{F}^{\top}F N + N F^{\top} \dot{F} N \] 再根据 \(\lambda n = FN\), \[ \dot{\lambda}/\lambda = n D n \] 式中, \[ D \triangleq \frac{1}{2}\left( \dot{F} F^{-1} + (\dot{F} F^{-1})^{\top} \right) \] \(\dot{F} F^{-1}\) 写成分量形式, 就得到 \[ (\dot{F} F^{-1})_{ij} = \frac{D ~}{D t} \frac{\partial x_i}{\partial X_I} \frac{\partial X_I}{\partial x_j} = \frac{\partial v_i}{\partial x_j} \triangleq L_{ij} \] 或者写成张量形式 \[ \dot{F} F^{-1} = L = \nabla_x v, \quad \dot{F} = L F \] 所以 \[ D = \frac{1}{2}\left( \nabla_x v + \nabla_x v^{\top} \right) \] 张量 \(D\) 刻画了物质的变形率, (变形比率的速率), 类似于小位移假设下的变形张量, \(D\) 也是速度梯度 \(\nabla_x v\) 的对称部分, 不过这里得到的 \(D\) 是准确刻画变形率的张量, 没有隐藏假设条件. 在纯刚体旋转条件下, \(D \equiv 0\).

同样的, 速度梯度的反对称部分, 刻画了物质的旋转速率, 定义为 \[ W \triangleq \frac{1}{2}\left( \nabla_x v - \nabla_x v^{\top} \right) \] 为反对称张量 \(W\) 引入向量 \(w\), 满足 \[ W_{ij} \triangleq -\frac{1}{2} e_{ijk} w_k, \quad \text{or} \quad w_{i} \triangleq- e_{ijk} W_{jk} \] 再根据旋度的定义, 就得到 \(w\) 与速度 \(v\) 的关系: \[ w = \mathrm{curl}~ v \] 对于过点 \(O\) 绕轴 \(n\) 作匀速刚体转动, 角速度为 \(\omega\), \[ R_{ik}(\omega t) = (1-\cos \omega t)n_i n_k + \cos \omega t \delta_{ik} + \sin \omega t e_{ijk} n_j, \quad x = R(\omega t)X \] 速度场为 \[ v(X,t) = \omega R' X \] 如果将速度场表示为空间坐标的函数, 那么 \[ v(x,t) = \omega R' R^{\top} x = \omega n \times x \] Vortex flow 并不是纯转动, 绕 \(e_3\) 的 Vortex flow 为 \[ v_1 = \frac{-\kappa x_2}{|x|^2}, \quad v_2 = \frac{\kappa x_1}{|x|^2}, \quad v_3 = 0 \] 式中, \(\kappa >0\) 为一个常数. 注意到, Vortex 流场速度方向和纯转动速度场是一致的, 但是速度的大小并不正比于空间点到旋转轴的距离, 而是等于常数 \(\kappa\). 该速度场的速度梯度为 \[ L = \begin{bmatrix} \dfrac{2\kappa x_1 x_2}{|x|^4} & \dfrac{\kappa (x_2^2 - x_1^2)}{|x|^4} \\ \dfrac{\kappa (x_2^2 - x_1^2)}{|x|^4} & -\dfrac{2\kappa x_1 x_2}{|x|^4} \end{bmatrix} \] \(L\) 对称, 因此 \(D = L\), \(W = 0\).