双相单胞问题 E P 张量的封闭解

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参考文献：Fish,Practical multiscaling, chapter 4.3.5

给定单胞各个相的弹性模量 \(\mathbb{L}^{(\alpha)}, \alpha=1,2,\ldots,N\)，以及均质化之后的模量 \(\mathbb{L}^c\)，式（4.119a）和式（4.119b）给出关于 \(N\) 个未知量 \(E_{mn}^{kl(\alpha)}\) 的 2 个方程，式（4.119c）和式（4.119d）给出关于 \(N^2\) 个未知量 \(P_{mn}^{kl(\alpha\beta)}\) 的 \(2N\) 个方程，\(N\) 为 Partition 的个数。当 \(N=2\) 时，也即单胞只分成两个分块，从方程的未知量个数来看，是可以得到封闭解的。

E 张量的封闭解

式（4.119a）和式（4.119b）展开后得到 \[ \begin{aligned} c^{(1)}\mathbb{L}^{(1)}:&\mathbb{E}^{(1)} + c^{(2)}\mathbb{L}^{(2)}:\mathbb{E}^{(2)} = \mathbb{L}^c\\ c^{(1)}&\mathbb{E}^{(1)} + c^{(2)}\mathbb{E}^{(2)} = \mathbb{I} \end{aligned} \] 第 2 式乘 \(\mathbb{L}^{(2)}\) 再与 1 式相减得到 \[ c^{(1)}(\mathbb{L}^{(1)}-\mathbb{L}^{(2)}):\mathbb{E}^{(1)} = \mathbb{L}^c - \mathbb{L}^{(2)} \] 所以 \(\mathbb{E}^{(1)}\) 可以通过分块的弹性模量以及体积分数表示为 \[ \mathbb{E}^{(1)} = \frac{1}{c^{(1)}}(\mathbb{L}^{(1)}-\mathbb{L}^{(2)})^{-1} : (\mathbb{L}^c - \mathbb{L}^{(2)}) \] 由于指标是对称的，所以有 \[ \mathbb{E}^{(2)} = \frac{1}{c^{(2)}}(\mathbb{L}^{(2)}-\mathbb{L}^{(1)})^{-1} (\mathbb{L}^c - \mathbb{L}^{(1)}) \] 至此，我们解析得到了 \(\mathbb{E}^{(1)}\)，\(\mathbb{E}^{(2)}\) 的表达式： \[ \left\{ \begin{aligned} \mathbb{E}^{(1)} = \frac{1}{c^{(1)}}(\mathbb{L}^{(1)}-\mathbb{L}^{(2)})^{-1} (\mathbb{L}^c - \mathbb{L}^{(2)})\\ \mathbb{E}^{(2)} = \frac{1}{c^{(2)}}(\mathbb{L}^{(2)}-\mathbb{L}^{(1)})^{-1} (\mathbb{L}^c - \mathbb{L}^{(1)}) \end{aligned} \right. \tag{1} \]

P 张量的封闭解

展开式（4.119c）和式（4.119d）的自由指标得到如下 4 个方程： \[ \begin{aligned} \mathbb{P}^{(11)} + \mathbb{P}^{(12)} = \mathbb{I} - \mathbb{E}^{(1)}\\ \mathbb{P}^{(11)}:\mathbb{M}^{(1)} + \mathbb{P}^{(12)}:\mathbb{M}^{(2)} = 0\\ \\ \mathbb{P}^{(21)} + \mathbb{P}^{(22)} = \mathbb{I} - \mathbb{E}^{(2)}\\ \mathbb{P}^{(21)}:\mathbb{M}^{(1)} + \mathbb{P}^{(22)}:\mathbb{M}^{(2)} = 0 \end{aligned} \] 1 式左右两端乘 \(\mathbb{M}^{(2)}\)，再与 2 式相减得到 \[ \mathbb{P}^{(11)}:(\mathbb{M}^{(2)} - \mathbb{M}^{(1)}) = (\mathbb{I} - \mathbb{E}^{(1)}):\mathbb{M}^{(2)} \] 所以 \[ \mathbb{P}^{(11)} = (\mathbb{I} - \mathbb{E}^{(1)}):\mathbb{M}^{(2)}:(\mathbb{M}^{(2)} - \mathbb{M}^{(1)})^{-1} \] 又因为 \[ \mathbb{M}^{(2)}:(\mathbb{M}^{(2)} - \mathbb{M}^{(1)})^{-1} = (\mathbb{L}^{(1)} - \mathbb{L}^{(2)})^{-1}:\mathbb{L}^{(1)} \] 所以有 \[ \mathbb{P}^{(11)} = (\mathbb{I} - \mathbb{E}^{(1)}):(\mathbb{L}^{(1)} - \mathbb{L}^{(2)})^{-1}:\mathbb{L}^{(1)} \] 类似的，我们可以求解出 \(\mathbb{P}^{(12)}\)： \[ \mathbb{P}^{(12)} = (\mathbb{I} - \mathbb{E}^{(1)}):(\mathbb{L}^{(2)} - \mathbb{L}^{(1)})^{-1}:\mathbb{L}^{(2)} \] 交换对称指标之后，我们同样也可以得到 \(\mathbb{P}^{(21)}\)，\(\mathbb{P}^{(22)}\) 的封闭表达式： \[ \left\{ \begin{aligned} \mathbb{P}^{(11)} = (\mathbb{I} - \mathbb{E}^{(1)}):(\mathbb{L}^{(1)} - \mathbb{L}^{(2)})^{-1}:\mathbb{L}^{(1)}\\ \mathbb{P}^{(12)} = (\mathbb{I} - \mathbb{E}^{(1)}):(\mathbb{L}^{(2)} - \mathbb{L}^{(1)})^{-1}:\mathbb{L}^{(2)}\\ \mathbb{P}^{(22)} = (\mathbb{I} - \mathbb{E}^{(2)}):(\mathbb{L}^{(2)} - \mathbb{L}^{(1)})^{-1}:\mathbb{L}^{(2)}\\ \mathbb{P}^{(21)} = (\mathbb{I} - \mathbb{E}^{(2)}):(\mathbb{L}^{(1)} - \mathbb{L}^{(2)})^{-1}:\mathbb{L}^{(1)} \end{aligned} \right. \tag{2} \]

数值实现

这里我们将把张量形式的方程组转换为可用于数值计算的 Voigt 形式。我们以求解（2）为例。将 1 式左右两端进行 Voigt 变换得到： \[ [:][\mathbb{P}^{(11)}] = [:]([\mathbb{I}] - [\mathbb{E}^{(1)}])~ [:][(\mathbb{L}^{(1)} - \mathbb{L}^{(2)})^{-1}]~ [:][\mathbb{L}^{(1)}] \] 而中间四阶张量逆的矩阵表示为 \[ [(\mathbb{L}^{(1)} - \mathbb{L}^{(2)})^{-1}] = [:]^{-1} [\mathbb{L}^{(1)} - \mathbb{L}^{(2)}]^{-1} [:]^{-1} \] 代入得到 \[ [:][\mathbb{P}^{(11)}] = ([:][\mathbb{I}] - [:][\mathbb{E}^{(1)}])~ [\mathbb{L}^{(1)} - \mathbb{L}^{(2)}]^{-1}~ [\mathbb{L}^{(1)}] \]