均质化理论中的 Hashin-Shtrikman 上下界
参考文献: HASHIN Z, SHTRIKMAN S. A variational approach to the theory of the elastic behaviour of multiphase materials[J/OL]. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 1963, 11(2): 127-140. DOI:10.1016/0022-5096(63)90060-7.
Hashin-Shtrikman 变分原理
Hashin-Shtrikman 变分原理考虑两个单胞 \(Y\) 和 \(\widetilde Y\), 两个单胞选用同样的位移边界条件. 单胞 \(Y\) 材料为各向同性, 模量为 \(L_{ijkl}^{0}\), 在位移边界条件下单胞内的应变 \(\varepsilon_{ij}^{0}\) 为常数. 单胞 \(Y\) 上的应力为: \[ \sigma_{ij}^0 = L_{ijkl}^0 \varepsilon_{kl}^0 \] 单胞 \(\widetilde Y\) 由非均质材料构成, 其模量为 \(L_{ijkl}(y):\tilde Y \mapsto \mathbb{S}^4\). 在与单胞 \(Y\) 相同的位移边界条件作用下, 单胞 \(\widetilde Y\) 上的应变与应力是空间坐标的函数, 记为 \(\varepsilon_{ij}(y):\tilde Y \mapsto \mathbb{S}^2\) 和 \(\sigma_{ij}(y):\tilde Y \mapsto \mathbb{S}^2\). 定义单胞 \(Y\) 与 \(\widetilde Y\) 之间模量的差值 \(\delta L_{ijkl}\) 为 \[ \delta L_{ijkl} \triangleq L_{ijkl} - L_{ijkl}^{0} \] 以及极化应力 \(p_{ij}\) \[ p_{ij}(y) \triangleq \sigma_{ij} - L_{ijkl}^0\varepsilon_{kl} = \delta L_{ijkl}~\varepsilon_{kl} \] 将两种单胞应变场的差值记为 \(\widetilde \varepsilon\): \[ \varepsilon_{ij} \triangleq \varepsilon_{ij}^0 + \widetilde\varepsilon_{ij} \] > Hashin-Shtrikman 给出的关于 \(p_{ij}\) 与 \(\widetilde\varepsilon_{ij}\) 的能量泛函表达式为 > \[ > U^p(p,\widetilde \varepsilon) = U^0 - \frac{1}{2} \int \left( p_{ij}~\delta L_{ijkl}^{-1}~p_{kl} - p_{ij} \widetilde\varepsilon_{ij} - 2p_{ij}\varepsilon_{ij}^0 \right) \mathrm{d} y > \tag{2.6} > \] > 以及辅助方程 > \[ > \left( L_{ijkl}^0 \widetilde\varepsilon_{kl} + p_{ij} \right)_{, ~j} = 0 > \] > 和边界条件 > \[ > \widetilde u_{i}(\partial Y) = 0 > \] > 式中, \(U^0 = \frac{1}{2}\int \sigma_{ij}^{0} \varepsilon_{ij}^{0} \mathrm{d} V\). 使得该泛函取驻值的极化应力满足 > \[ > p_{ij} := (L_{ijkl} - L_{ijkl}^0) \varepsilon_{kl} = \delta L_{ijkl} \varepsilon_{kl} > \]
如果考虑单胞 \(\widetilde Y\) 是由各向同性材料组成的, 那么在泛函表达式 (2.6) 中, \(p_{ij}\delta L_{ijkl}^{-1}~p_{kl}\) 可以显式地用材料常数 \(\lambda, K, \mu\) 表示为 \[ p_{ij}~\delta L_{ijkl}^{-1}~p_{kl} = -\frac{\lambda-\lambda^0}{6(\mu-\mu^0)(K-K^0)} p^2_{k k} + \frac{1}{2(\mu-\mu^0)} p_{ij} p_{ij} \tag{2.13} \] 式中, \(\lambda^0, K^0, \mu^0\) 是单胞 \(Y\) 的弹性常数, \(\lambda, K, \mu:\tilde Y \mapsto \mathbb{R}^{+}\) 是单胞 \(\widetilde Y\) 的弹性常数. 驻点为极大或者极小值与材料系数 \(\lambda, \mu\) 相关:
驻点取极大值, 当 \[ \lambda>\lambda^0, \quad \mu > \mu^0, \tag{2.15} \] 驻点取极小值, 当 \[ \lambda < \lambda^0, \quad \mu < \mu^0, \tag{2.16} \]
非均质材料的模量上下限
首先, 定义算符 \(\langle\cdot\rangle\) 表示场变量在单胞区域的体积平均: \[ \langle \cdot \rangle \triangleq \frac{1}{|Y|} \int_Y \cdot ~ \mathrm{d} y \] 在非均质单胞 \(\widetilde Y\) 表面施加位移条件为 \[ u_i(\partial Y) = \varepsilon_{ij}^{0} x_j \tag{3.1} \] 单胞内部的应变场响应为 \(\varepsilon_{ij}:\tilde Y \mapsto \mathbb{S}^2\), 定义单胞上的平均应变 \(\bar \varepsilon_{ij} \in \mathbb{S}^2\) 为应变场在单胞上的体积平均: \[ \bar \varepsilon_{ij} \triangleq \langle \varepsilon_{ij} \rangle \] 可以证明, \(\bar \varepsilon_{ij} \equiv \varepsilon_{ij}^{0}\), 之后这两者之间的记号不加区分, 均使用 \(\bar \varepsilon_{ij}\). 因此, 单胞 \(\widetilde Y\) 上的应变场可以分解为 \[ \varepsilon_{ij}(y) = \bar \varepsilon_{ij} + \widetilde \varepsilon_{ij}(y) \] 并且应变扰动项 \(\widetilde \varepsilon_{ij}\) 的体积平均等于 0 \[ \langle \widetilde \varepsilon_{ij} \rangle = 0 \] 单胞 \(\widetilde Y\) 上的应变能可以表示为如下形式: \[ U = \frac{9}{2} K^{\star} \bar\varepsilon^2 + \mu^{\star} \bar e_{ij} \bar e_{ij} \tag{3.2} \] 式中, 应变 \(\bar \varepsilon_{ij}\) 被分解为 \[ \bar \varepsilon_{ij} = \bar \varepsilon ~\delta_{ij} + \bar e_{ij}, \quad \bar \varepsilon = \frac{1}{3} \bar \varepsilon_{ii} \] 接下来, 我们将应用 Hashin-Shtrikman 变分原理. 设置均质参考单胞 \(Y\), 其弹性常数为 \(K_0, G_0\), 并在边界处施加式 (3.1) 所表示的边界条件. 非均质单胞 \(\widetilde Y\) 由 \(N\) 相各向同性材料组成. 定义 \(Y^\alpha\) 上的示性函数 \(\chi^{\alpha}(y):Y\mapsto\mathbb{R}\) ： \[ \chi^{\alpha}(y) \triangleq \begin{cases} 1, \quad y \in Y^{\alpha}\\ 0, \quad y \notin Y^{\alpha}\\ \end{cases} \] 在泛函 (2.16) 中, 我们选取这样的极化应力, 使得在每一个分块 \(\widetilde Y^{\alpha}\) 上的极化应力为常值: \[ p_{ij} := \sum_{\alpha}^{N} p_{ij}^{\alpha} \chi^{\alpha} \tag{3.6} \] 在进行下一阶段的讨论之前, 我们先给出张量的 deviatoric 分解. 我们可以将张量分解为各向同性部分与 dev 部分: \[ \begin{aligned} p_{ij} &= p \delta_{ij} + f_{ij}, \quad p = \frac{1}{3}p_{ii} \\ \widetilde\varepsilon_{ij} &= \widetilde\varepsilon \delta_{ij} + \widetilde e_{ij}, \quad \widetilde\varepsilon = \frac{1}{3}\widetilde\varepsilon_{ii} \\ \bar\varepsilon_{ij} &= \bar\varepsilon \delta_{ij} + \bar e_{ij}, \quad \bar\varepsilon = \frac{1}{3} \bar\varepsilon_{ii} \end{aligned} \] 这样分解的好处直接体现在两个二阶张量进行双点积的运算过程中, iso 与 dev 的交叉项直接等于0, 这是由于 \[ f_{ij} \delta_{ij} = (p_{ij} - p \delta_{ij}) \delta_{ij} = p_{ii} - 3p = 0 \]
将分解后的极化应力代入到泛函表达式 (2.6) 当中得到 \[ U^p=U^0 + \widetilde U - \frac{1}{2} \int \left(\frac{p^2}{K-K^0} + \frac{f_{ij} f_{ij}}{2(\mu - \mu^0)} -6 p \bar\varepsilon-2 f_{i j} \bar e_{i j} \right) \mathrm{d} y \tag{3.9} \] 式中 \[ \begin{aligned} U^0 &= \frac{9}{2} K^0 \bar\varepsilon^2 + \mu^0 \bar e_{ij} \bar e_{ij} \\ \widetilde U &= \frac{1}{2} \int (3p \widetilde\varepsilon + f_{ij} \widetilde e_{ij}) ~\mathrm{d} y \end{aligned} \]
再将极化应力的表达式 (3.6) 代入 (3.9) 的积分项中, 就能够得到 \[ U^p = U^0 + \widetilde U - \frac{1}{2} \sum_{\alpha} c^{\alpha} \left( \frac{(p^{\alpha})^2}{K^{\alpha} - K^0} + \frac{f_{ij}^{\alpha} f_{ij}^{\alpha}}{2( \mu^{\alpha} - \mu^0 )} \right) + 3\bar{p} \bar\varepsilon + \bar{f}_{ij} \bar e_{i j} \tag{3.12} \]
式 (3.12) 中还差 \(\tilde U\) 没有给出, 我们可以通过Fourier 分析得到 \[ 2 \widetilde U = \underbrace{\frac{-3 K^0 - 6\mu^0}{5\mu^0 (3 K^0 + 4\mu^0)} }_{\triangleq b_0} \left( \sum_{\alpha} c^{\alpha} f_{ij}^{\alpha} f_{ij}^{\alpha} - \bar{f}_{ij}\bar{f}_{ij} \right) + \underbrace{\frac{-3}{3 K^0 + 4\mu^0} }_{\triangleq a_0} \left(\sum_{\alpha} c^{\alpha} (p^{\alpha})^2 - \bar{p}^2 \right) \tag{3.15} \]
这样, 我们得到 \(U^p\) 关于极化应力的代数方程: \[ \begin{aligned} U^p &= \bar U - \frac{1}{2} \sum_{\alpha}c^{\alpha} \left( \left(\frac{1}{K^{\alpha}-K^0} - a_0\right) (p^{\alpha})^2 + \left( \frac{1}{2(\mu^{\alpha} - \mu^0)} - b_0 \right) f_{ij}^{\alpha}f_{ij}^{\alpha} \right) \\ &+ 3\bar{p} \bar\varepsilon + \bar{f}_{ij} \bar e_{i j} - \frac{1}{2}b_0 \bar{f}_{ij}\bar{f}_{ij} - \frac{1}{2}a_0 \bar{p}^2 \end{aligned} \tag{3.18} \] 由极值条件 (2.15), 当所有分区上材料常数 \(K^{\alpha}\), \(\mu^{\alpha}\) 满足 \[ K^{\alpha} > K^0, \quad \mu^{\alpha} > \mu^0, \quad \forall \alpha \tag{3.19} \] 此时, 由式 (3.18) 得到的 \(U^p\) 就是式 (3.2) 的一个下界: \[ U^p < U \tag{3.20} \] 类似的, 我们可以得到, 当所有分区上材料常数 \(K^{\alpha}\), \(\mu^{\alpha}\) 满足 \[ K^{\alpha} < K^0, \quad \mu^{\alpha} < \mu^0, \quad \forall \alpha \tag{3.21} \] 就可以得到式 (3.2) 的一个上界: \[ U^p > U \tag{3.22} \] 为了得到最紧的上下界, 我们可以对式 (3.18) 中 \(p^{\alpha}\), \(f_{ij}^{\alpha}\) 求偏导, 得到使得 \(U^p\) 取极值的条件: \[ \begin{aligned} \frac{\partial U^p}{\partial p^{\alpha}} &= -\left(\frac{1}{K^{\alpha}-K^0} - a_0\right) c^{\alpha} p^{\alpha} + 3 c^{\alpha} \bar\varepsilon - c^{\alpha} a_0 \bar p = 0 \\ \frac{\partial U^p}{\partial f_{ij}^{\alpha}} &= -\left( \frac{1}{2(\mu^{\alpha} - \mu^0)} - b_0 \right) c^{\alpha} f_{ij}^{\alpha} + c^{\alpha} \bar e_{i j} - c^{\alpha} b_0 \bar{f}_{ij} = 0 \end{aligned} \] 消去体积分数 \(c^{\alpha}\) 得到 \[ \begin{aligned} \left(\frac{1}{K^{\alpha}-K^0} - a_0\right) p^{\alpha} + a_0 \sum_{\alpha} c^{\alpha} p^{\alpha} &= 3 \bar\varepsilon \\ \left( \frac{1}{2(\mu^{\alpha} - \mu^0)} - b_0 \right) f_{ij}^{\alpha} + b_0 \sum_{\alpha} c^{\alpha} f_{ij}^{\alpha} &= \bar e_{i j} \end{aligned} \] 该方程的解, 如果我们引入修正刚度 \(K_{*}^{\alpha}\) 和 \(\mu_{*}^{\alpha}\): \[ K_{*}^{\alpha} \triangleq \frac{1}{\frac{1}{K^{\alpha}-K^0} - a_0}, \quad 2\mu_{*}^{\alpha} \triangleq \frac{1}{\frac{1}{2(\mu^{\alpha} - \mu^0)} - b_0} \] 以及 \[ \bar K_{*} = \sum_{\alpha}\left( c^{\alpha} K_{*}^{\alpha} \right), \quad \bar \mu_{*} = \sum_{\alpha}\left( c^{\alpha} \mu_{*}^{\alpha} \right) \]
就可以表示为 \[ \begin{align} p^{\alpha} &= \frac{3 K_{*}^{\alpha}}{1 + a_0 \bar K_{*}} \bar\varepsilon \tag{3.27}\\ f_{ij}^{\alpha} &= \frac{2\mu_{*}^{\alpha}}{1 + 2 b_0 \bar \mu_{*}} \bar e_{ij} \tag{3.28} \end{align} \] 将极值点代入到二项式 (3.18) 中, 取值等于二项式中一次项的一半: \[ U^p = \bar U + \frac{1}{2} \left( 3\bar{p} \bar\varepsilon + \bar{f}_{ij} \bar e_{i j} \right) = \frac{9}{2} \left( K^0 + \frac{\bar K_{*}}{1 + a_0 \bar K_{*}} \right)\bar\varepsilon^2 + \left( \mu^0 + \frac{ \bar\mu_{*}}{1 + 2 b_0 \bar \mu_{*}} \right) \bar e_{ij} \bar e_{ij} \] 选取单胞的宏观应变 \(\bar\varepsilon_{ij} := \bar\varepsilon \delta_{ij}\), 代入上式当中, 再根据式 (3.20) (3.22), 可以得到 \[ U^p \lessgtr U \Rightarrow \frac{9}{2} \left( K^0 + \frac{\bar K_{*}}{1 + a_0 \bar K_{*}} \right)\bar\varepsilon^2 \lessgtr \frac{9}{2} K^{\star} \bar\varepsilon^2, \quad \forall \bar\varepsilon \] 所以 \[ K^{*} \triangleq K^0 + \frac{\bar K_{*}}{1 + a_0 \bar K_{*}} \lessgtr K^{\star} \tag{3.32} \] 类似的, 我们也可以得到关于剪切模量 \(\mu^{\star}\) 的上下界估计: \[ \mu^{*} \triangleq \mu^0 + \frac{ \bar\mu_{*}}{1 + 2 b_0 \bar \mu_{*}} \lessgtr \mu^{\star} \tag{3.34} \]
在得到的模量上下界公式 (3.32) 和 (3.34) 中, 还包含参数 \(K^0\) 和 \(\mu^0\), 现在我们希望能够在保证满足 (3.19) (3.21) 极值条件下, 选取参数 \(K^0\) 和 \(\mu^0\), 得到最紧的上下界. 可以证明(但是我没证明), 式 (3.32) (3.34) 的上下界关于 \(K^0\) 和 \(\mu^0\) 是单调的. 为保证 (3.32) 得到的 \(K^{*}\) 是下界, 需要满足 \[ K^0 < K^{\alpha}, \quad \mu^0 < \mu^{\alpha}, \quad \forall \alpha \] 又因为 \(K^{*}\), \(\mu^{*}\) 关于 \(K^0\), \(\mu^0\) 单调, 所以最紧的下界(所有下界中的最大值) 在 \[ K^0 = \min_{\alpha} K^{\alpha}, \quad \mu^0 = \min_{\alpha} \mu^{\alpha} \] 取到. 类似的最紧的上界(所有上界的最小值)取值点为 \[ K^0 = \max_{\alpha} K^{\alpha}, \quad \mu^0 = \max_{\alpha} \mu^{\alpha} \] 综上, 通过 Hashin-Shtrikman 变分原理, 得到的单胞模量上下界 \(K^{*}(K^0, \mu^0)\), \(\mu^{*}(K^0, \mu^0)\)为 \[ \begin{aligned} K^{*}(\min_{\alpha} K^{\alpha},\min_{\alpha} \mu^{\alpha}) &< K^{\star} < K^{*}(\max_{\alpha} K^{\alpha},\max_{\alpha} \mu^{\alpha}) \\ \mu^{*}(\min_{\alpha} K^{\alpha},\min_{\alpha} \mu^{\alpha}) &< \mu^{\star} < \mu^{*}(\max_{\alpha} K^{\alpha},\max_{\alpha} \mu^{\alpha}) \end{aligned} \]