降阶均匀化理论推导

1. Reduced Order 中函数 \(h_{i}^{kl}\) 与细观力学 Green 函数的关联

在多尺度的单胞问题中, 如果使用本征应变 \(\mu^{\xi}(x)\) 表征材料非弹性的影响, 那么本构方程为:

\[ \sigma^{\xi}(x) = L^{\xi}(x):\left(\varepsilon^{\xi}(x) - \mu^{\xi}(x)\right) \]

对位移变量进行双尺度渐近展开, 得到

\[ \text{ANSATZ}:u^{\xi}(x) \sim u^{c}(x) + \xi u^{(1)}(x,y) + O(\xi^2) \]

依照上述 ANSATZ, 同样也可以得到应变,应力,本征应变的渐进展开式: \[ \begin{aligned} \varepsilon^{\xi}(x) &\sim \varepsilon^f(x,y) + \xi \varepsilon^{(1)}(x,y) + O(\xi^2)\\ \sigma^{\xi}(x) &\sim \sigma^{f}(x,y) + \xi \sigma^{(1)}(x,y) + O(\xi^2)\\ \mu^{\xi}(x) &\sim \mu^f(x,y) + \xi \mu^{(1)}(x,y) + O(\xi^2) \end{aligned} \]

通过应力平衡方程, 以及解的存在唯一条件, 可以得到渐进展开式中不同阶次项之间的关系. 其中, fine scale 上的变量之间的关系式为:

\[ \begin{aligned} \varepsilon^f(x,y) &\triangleq \underbrace{\nabla_x u^c(x)}_{\triangleq \varepsilon^c} + \nabla_y u^{(1)}(x,y)\\ \sigma^f(x,y) &\triangleq \mathbb{L}(y) : \left( \varepsilon^f(x,y) - \mu^f(x,y) \right) \end{aligned} \tag{1.1} \]

在多尺度中, 单胞内精细的位移场 \(u^{(1)}\) 是通过如下方式进行构造的:

\[ u_i^{(1)}(x,y) = \underbrace{\varepsilon_{kl}^c(x) H_i^{kl}(y) }_{(1)} + \underbrace{\int_{Y} \mu_{kl}^f(x,y^{\prime}) h_{i}^{kl}(y,y^{\prime}) \mathrm{d} y^{\prime}}_{(2)} \tag{1.2} \]

式中, 第 (1) 项只考虑线弹性材料非均质在单胞内部产生的位移场 fluctuation; 第 (2) 项考虑单胞内非弹性的本征应变造成的位移场的扰动. (2) 的构造来源于细观力学 (Mura1987), 由本征应变产生的位移可以写作本征应变与 Green 函数的卷积形式

\[ u_{i}(x) = -\int L_{mnkl} G_{in,m}(x-x^{\prime}) \mu_{kl}(x^{\prime}) \mathrm{d} x^{\prime} \tag{1.3} \]

观察 (2) 与式 (1.3) 相同的部分, 可以得到

\[ h_{i}^{kl}(y,y^{\prime}) = -L_{mnkl} G_{in,m}(y-y^{\prime}) \tag{1.4} \]

在细观力学推导 Green 函数过程中, 弹性模量 \(L_{mnkl}\) 看作是常数, 并没有出现作为 Fourier 变换后的函数 \(\hat{L}_{mnkl}\), 但是单胞问题中, \(L_{mnkl}\) 是分段常数. 我不确定式 (1.4) 中 \(L_{mnkl}\) 是不是关于坐标 \(y\) 或 \(y^{\prime}\) 的函数.

2. Reduced Order: Green 函数在 Partition 上的积分

在对非均质线弹性单胞问题渐进展开的推导中, 我们得到表征单胞上应变 fluctuation 的张量场 \(E_{ij}^{kl}: Y \mapsto \mathcal{S}\), 现在我们将要推导表征分块 Partition 上的本征应变的影响张量 \(P_{ij}^{kl}: Y^{(\alpha)} \mapsto \mathcal{S}\).

多尺度在单胞上 fine-scale 应力满足平衡方程以及边界条件: \[ \nabla_{y} \cdot \sigma^{f} = 0, \quad \sigma^{f} \cdot n \in -\# \]

将渐进展开式, 本构方程, 以及关于 \(u_{i}^{(1)}\) 的表达式 (1), (2) 代入到平衡方程中得到

\[ \left\{ L_{ijkl}(y) \left[ E_{kl}^{mn}(y) \varepsilon_{mn}^c(x) + \int_{Y} \mu_{mn}^f(x,y^{\prime}) h_{(k,y_l)}^{mn}(y,y^{\prime}) \mathrm{d} y^{\prime} - \mu_{kl}^f(x,y) \right] \right\}_{,y_j} = 0 \]

线弹性部分的单胞方程为:

\[ \left\{ L_{ijkl}(y) E_{kl}^{mn}(y) \right\}_{,y_j} = 0 \tag{2.1} \]

本征应变的单胞方程为

\[ \left\{ L_{ijkl}(y) \left[ \int_{Y} \mu_{mn}^f(x,y^{\prime}) h_{(k,y_l)}^{mn}(y,y^{\prime}) \mathrm{d} y^{\prime} - \mu_{kl}^f(x,y) \right] \right\}_{,y_j} = 0 \tag{2.2} \]

在确定的加载方式下, 分块上的本征应变当然和宏观应变是有着一一对应的关系, 但这并不是说这两个应变就存在着必然的函数关系. 这两个宏观尺度的变量, 在这里我们将视之为相互独立的变量. 至于怎么从这些给定的宏观变量想象单胞具体的加载路径是怎么样的, 不是所有场景都可以想象得到.

降阶多尺度的分段常值假设:

将单胞分成若干个 partition: \(Y^{(1)}, Y^{(2)}, \ldots, Y^{(N)}\),并假设每一个 partition 上的本征应变 (以及其它的物理量) 是相同的, 每个 partition 上的本征应变为 \(\mu_{mn}^{(1)}(x), \mu_{mn}^{(1)}(x), \ldots, \mu_{mn}^{(N)}(x)\), 由此得到本征应变场是在单胞上的分段常值分布: \[ \mu_{mn}^{f}(x,y) := \sum_{\alpha=1}^{N} \mu_{mn}^{(\alpha)}(x) \chi^{(\alpha)}(y) \]

将分段常值的本征应变场代入到单胞方程 (2.2) 中, 得到 \[ \sum_{\alpha=1}^{N} \mu_{mn}^{(\alpha)}(x)\left\{ L_{ijkl}(y) \left[ \int_{Y} h_{(k,y_l)}^{mn}(y,y^{\prime}) \chi^{(\alpha)}(y^{\prime}) \mathrm{d} y^{\prime} - I_{kl}^{mn}\chi^{(\alpha)}(y) \right] \right\}_{,y_j} = 0 \]

上式是关于 \(\mu_{mn}^{(\alpha)}(x)\) 的方程组, 且方程组系数独立于方程变量. 这样, 如果方程组的解空间为 \(\mathbb{R}_N\), 也就是对任意 \(\mu_{mn}^{(\alpha)}(x) \in \mathbb{R}_N\), 上述方程恒成立, 则必须要求方程组系数恒等于 0:

\[ \left\{ L_{ijkl}(y) \left[ \int_{Y} h_{(k,y_l)}^{mn}(y,y^{\prime}) \chi^{(\alpha)}(y^{\prime}) \mathrm{d} y^{\prime} - I_{kl}^{mn}\chi^{(\alpha)}(y) \right] \right\}_{,y_j} = 0, \quad \alpha = 1,2,\ldots,N \]

将 Green 函数在 partition 上的积分定义为

\[ P_{kl}^{mn(\alpha)}(y) \triangleq \int_{Y} h_{(k,y_l)}^{mn}(y,y^{\prime}) \chi^{(\alpha)}(y^{\prime}) \mathrm{d} y^{\prime} \]

这样就得到关于张量 \(P_{kl}^{mn(\alpha)}\) 的 \(N\) 个方程:

\[ \left\{ L_{ijkl}(y) \left[ P_{kl}^{mn(\alpha)}(y) - I_{kl}^{mn}\chi^{(\alpha)}(y) \right] \right\}_{,y_j} = 0, \text{in}~ Y \quad \alpha=1,2, \ldots,N \]

3. 多尺度得到的单胞分块应变方程

\[ u_i^{(1)}(x,y) = \underbrace{\varepsilon_{kl}^c(x) H_i^{kl}(y) }_{(1)} + \underbrace{\int_{Y} \mu_{kl}^f(x,y^{\prime}) h_{i}^{kl}(y,y^{\prime}) \mathrm{d} y^{\prime}}_{(2)} \]

只考虑上式中第 (2) 部分, 也即本征应变对 fine-scale 应变的影响, 那么单胞上的微尺度应变为

\[ \varepsilon_{ij}^{(2)}(x,y) = \int_{Y} h_{(i,y_j)}^{kl}(y,y^{\prime}) \mu_{kl}^{f}(x,y^{\prime}) \mathrm{d} y^{\prime} \]

将 reduced order 分块均匀假设代入上式, 就得到

\[ \varepsilon_{ij}^{(2)}(x,y) = \sum_{\alpha=1}^{N} P_{ij}^{kl(\alpha)}(y) \mu_{kl}^{(\alpha)}(x) \]

在每一个分块 \(Y^{(\alpha)}\) 上对 \(\varepsilon^f\) 进行积分平均, 得到 \[ \varepsilon_{ij}^{(\beta)}(x) = \sum_{\alpha=1}^{N} \langle P_{ij}^{kl(\alpha)}(y) \rangle_{Y^{(\beta)}} \mu_{kl}^{(\alpha)}(x) = \sum_{\alpha=1}^{N} P_{ij}^{kl(\beta \alpha)} \mu_{kl}^{(\alpha)}(x) \tag{3.1} \] 式中, \(P_{ij}^{kl(\beta \alpha)} \triangleq \langle P_{ij}^{kl(\alpha)}(y) \rangle_{Y^{(\beta)}}\). 如果再考虑线弹性材料的非均质性对应变场造成的扰动, 那么该项造成的单胞上的微尺度应变为

\[ \varepsilon_{ij}^{(1)}(x,y) = \varepsilon_{kl}^c(x) H_{(i,y_j)}^{kl}(y) \] 对上式在分块上进行体平均, 就得到 \[ \varepsilon_{ij}^{(\beta)}(x) = \varepsilon_{kl}^c(x) \left( E_{ij}^{kl(\beta)} - I_{ij}^{kl(\beta)} \right) \tag{3.2} \] 因此, 分块上的应变, 就等于 ①.宏观尺度的应变 ②.式 (3.1) 本征应变造成的应变扰动场平均 ③.式 (3.2) 线弹性材料不均匀性造成的应变扰动场平均, 所以 \[ \begin{aligned} \varepsilon_{ij}^{(\beta)}(x) &= \varepsilon_{ij}^{c}(x) + \sum_{\alpha=1}^{N} P_{ij}^{kl(\beta \alpha)} \mu_{kl}^{(\alpha)}(x) + \varepsilon_{kl}^c(x) \left( E_{ij}^{kl(\beta)} - I_{ij}^{kl(\beta)} \right) \\ &= \sum_{\alpha=1}^{N} P_{ij}^{kl(\beta \alpha)} \mu_{kl}^{(\alpha)}(x) + E_{ij}^{kl(\beta)}\varepsilon_{kl}^c(x) \end{aligned} \]

4. 多尺度得到的宏观物理量

将多尺度得到的结果代入到式 (1.1) 当中 \[ \sigma^{f}(x,y) = L(y):\left( E(y):\varepsilon^{c}(x) + \sum_{\alpha=1}^{N} P^{(\alpha)}(y):\mu^{(\alpha)}(x) - \sum_{\alpha=1}^{N} I^{(\alpha)}(y):\mu^{(\alpha)}(x) \right) \] 式中, \(I^{(\alpha)}(y) \triangleq \chi^{(\alpha)}(y) \mathbb{I}\). 对上式在单胞上作体积平均, 得到 \[ \sigma^{c} \triangleq \langle \sigma(x,y) \rangle = \left\langle L(y):E(y) \right\rangle :\varepsilon^{c}(x) + \sum_{\alpha=1}^{N} \left\langle L(y): \left(P^{(\alpha)}(y)-I^{(\alpha)}(y)\right) \right\rangle : \mu^{(\alpha)}(x) \] 引入记号 \[ L^{c} \triangleq \left\langle L(y):E(y) \right\rangle , \quad A^{(\alpha)} \triangleq \left\langle L(y): \left(P^{(\alpha)}(y)-I^{(\alpha)}(y)\right) \right\rangle \] 这样宏观应力就可以表示为 \[ \sigma^{c} = L^{c} : \varepsilon^{c} + \sum_{\alpha=1}^{N} A^{(\alpha)}:\mu^{(\alpha)} \] 如果考虑单胞模量是分段常值的, 也即 \(L(y) = \sum_{\alpha} \chi^{(\alpha)}(y) L^{(\alpha)}\), 那么 \(A^{(\alpha)}\) 就可以表示为 \[ A^{(\alpha)} = \left\langle \sum_{\beta=1}^{N} \chi^{(\beta)}(y) L^{(\beta)}: \left(P^{(\alpha)}(y)-I^{(\alpha)}(y)\right) \right\rangle = \sum_{\beta=1}^{N} c^{(\beta)}L^{(\beta)}:P^{(\beta\alpha)} - c^{(\alpha)} L^{(\alpha)} \]