应用相容本征应变的降阶均质化方法

控制方程的渐进展开

位移的渐进展开式为 \[ u_{i}^{\zeta} = u_{i}^{(0)}(x) + \zeta u_{i}^{(1)}(x,y) + \mathcal{O}(\zeta^2) \] 这里已经应用应变渐进展开式 \(\mathcal{O}({\zeta^{-1}})\) 项等于 0, 所以零阶项 \(u_{i}^{(0)}\) 只是关于变量 \(x\) 的函数. 应变, 本征应变和应力的渐进展开式分别为 \[ \varepsilon_{ij}^{\zeta} = \varepsilon_{ij}^{(0)} + \zeta \varepsilon_{ij}^{(1)} + \mathcal{O}(\zeta^2)\\ \mu_{ij}^{\zeta} = \mu_{ij}^{(0)} + \zeta \mu_{ij}^{(1)} + \mathcal{O}(\zeta^2) \\ \sigma_{ij}^{\zeta} = \sigma_{ij}^{(0)} + \zeta \sigma_{ij}^{(1)} + \mathcal{O}(\zeta^2) \] 位移, 应变和应力渐进展开式的每一项分别通过几何方程和本构方程联系在一起: \[ \varepsilon_{ij}^{\zeta} = u_{(i,j)}^{\zeta}, \quad \sigma_{ij}^{\zeta} = L_{ijkl} \left( \varepsilon_{kl}^{\zeta} - \mu_{kl}^{\zeta} \right) \] 对应得到渐进展开式每一阶的方程为 \[ \mathcal{O}(1):\varepsilon_{ij}^{(0)} = u_{(i,x_j)}^{(0)} + u_{(i,y_j)}^{(1)}, \quad \sigma_{ij}^{(0)} = L_{ijkl} \left( \varepsilon_{kl}^{(0)} - \mu_{kl}^{(0)} \right) \] 以下用上标 \(\square^{f}\) 表示应变, 本征应变和应力场渐进展开式的零阶项. 将渐进展开项代入到控制方程 \[ \sigma_{ij,j}^{\zeta} + b_{i}^{\zeta} = 0 \] 得到 \[ \begin{aligned} &\mathcal{O}(\zeta^{-1}): \sigma_{ij,y_j}^{f} = 0 \\ &\mathcal{O}(1): \quad \sigma_{ij,x_j}^{f} + \sigma_{ij,y_j}^{(1)} + b_{i}^{(0)} = 0 \end{aligned} \]

位移的一阶项表示

使用影响函数方法, 可以将宏观应变 \(\varepsilon_{ij}^{c} \triangleq u_{(i,x_j)}^{(0)}\) 与本征应变 \(\mu_{ij}^{f}\) 对位移一阶项 \(u_{i}^{(1)}\) 的影响表示为 \[ u_{i}^{(1)} = H_{i}^{mn} \varepsilon_{mn}^{c} + \int_{\Theta} h_{i}^{mn}(y,y') \mu_{mn}^{f}(y') \mathrm{d}y' \] 式中, \(H_i^{mn}: \Theta \mapsto \mathbb{T}^3\) 为位移影响函数 (displacement influence function), \(h_{i}^{mn}: \Theta \mapsto \mathbb{T}^3\) 为本征应变影响函数 (transformation influence function for eigenstrain). 函数 \(h_{i}^{mn}\) 也称考虑本征应变的无体力项弹性方程的 Green 函数.

将上式代入到精细尺度下的应变场 \(\varepsilon_{ij}^{f}\), 得到 \[ \varepsilon_{ij}^{f} = E_{ij}^{mn} \varepsilon_{mn}^{c} + \int_{\Theta} h_{(i,y_j)}^{mn}(y,y') \mu_{mn}^{f}(x,y') \mathrm{d}y' \] 式中, \(E_{ij}^{mn}: \Theta \mapsto \mathbb{T}^4\) 为弹性应变影响函数 (elastic strain influence tensor), 定义为 \[ E_{ij}^{mn} \triangleq H_{(i,y_j)}^{mn} + I_{ij}^{mn} \]

双相材料

考虑纤维相为弹性材料, 基体相为理想塑性材料并处于理想塑性阶段. 若基体相上施加任意一个本征应变增量 \(\Delta \boldsymbol{\mu}^{(m)}\), 那么, 根据理想塑性本构关系有: \[ \Delta \boldsymbol{\varepsilon}^{(m)} = \Delta \boldsymbol{\mu}^{(m)} \] 此时宏观应变增量等于 \[ \Delta \boldsymbol{\varepsilon}^{c} = c^{(m)} \Delta \boldsymbol{\varepsilon}^{(m)} + c^{(f)} \Delta \boldsymbol{\varepsilon}^{(f)} = c^{(m)} \Delta \boldsymbol{\mu}^{(m)} + c^{(f)} \Delta \boldsymbol{\varepsilon}^{(f)} \] 单胞上的应变场增量为 \[ \Delta \boldsymbol{\varepsilon}(\boldsymbol{y}) = c^{(f)} \mathbb{E}(\boldsymbol{y}): \Delta \boldsymbol{\varepsilon}^{(f)} + \left( \mathbb{P}^{(m)}(\boldsymbol{y}) + c^{(m)} \mathbb{E}(\boldsymbol{y}) \right) : \Delta \boldsymbol{\mu}^{(m)} \] 在纤维相上求平均, 得到 \[ c^{(m)} \mathbb{E}^{(m)} : \Delta \boldsymbol{\varepsilon}^{(f)} = \left( \mathbb{P}^{(fm)} + c^{(m)} \mathbb{E}^{(f)} \right) : \Delta \boldsymbol{\mu}^{(m)} \] 如果要求对任意本征应变, 纤维相的应变增量都等于 0, 这要求 \[ \mathbb{P}^{(fm)} + c^{(m)} \mathbb{E}^{(f)} = 0 \] 如果考虑基体相被分成多个分块, 例如分成两块, 那么问题是, 可能某一个分块上发生塑性变形, 但另一个分块上还处于弹性阶段, 这就给分析带来困难. 以及一个基体分块对另一个基体分块会产生怎样的影响呢?

相容的本征应变场

若本征应变是相容的(compatible or impotent eigenstrain), 那么它可以考虑为某个位移场 \(\left( u_{i}^{\mu} \right)^{\zeta}\) 的梯度, 由此精细尺度下的本征应变场可表示为 \[ \mu_{ij}^{f}(x,y) = u_{(i,x_j)}^{\mu(0)}(x) + u_{(i,y_j)}^{\mu(1)}(x,y) \] 类似于宏观应变 \(\varepsilon^{c}\), 定义宏观本征应变 \(\mu_{ij}^{c}\) \[ \mu_{ij}^{c} \triangleq u_{(i,x_j)}^{\mu(0)} \] 将精细尺度下的本征应变表达式代入到位移的一阶项当中 \[ u_{i}^{(1)} = H_{i}^{mn} \varepsilon_{mn}^{c} + \int_{\Theta} h_{i}^{mn}(y,y')\mathrm{d}y' \ \mu_{mn}^{c} + \int_{\Theta} h_{i}^{mn}(y,y') u_{(m,y_n)}^{\mu(1)}(x,y') \mathrm{d}y' \] 再代入到 \(\mathcal{O}(\zeta^{-1})\) 阶的控制方程中得到 \[ \left\{ L_{ijkl} E_{kl}^{mn} \varepsilon_{mn}^{c} + L_{ijkl} \left( \int_{\Theta} h_{(k,y_l)}^{mn}(y,y')\mathrm{d}y' - I_{kl}^{mn} \right) \mu_{mn}^{c} \\ + L_{ijkl} \left( \int_{\Theta} h_{(k,y_l)}^{mn}(y,y') u_{(m,y_n)}^{\mu(1)} \mathrm{d}y' -u_{(k,y_l)}^{\mu(1)} \right) \right\}_{,y_j} = 0 \] 方程对任意的宏观应变 \(\varepsilon_{mn}^{c}\) 和宏观本征应变 \(\mu_{mn}^{c}\) 恒成立, 这就得到单胞 \(\Theta\) 上的微分方程 \[ \left\{ L_{ijkl} E_{kl}^{mn} \right\}_{,y_j} = 0, \\ \left\{ L_{ijkl} \left( R_{kl}^{mn} - I_{kl}^{mn} \right) \right\}_{,y_j} = 0, \\ \left\{ L_{ijkl} \left( \int_{\Theta} h_{(k,y_l)}^{mn}(y,y') u_{(m,y_n)}^{\mu(1)} \mathrm{d}y' -u_{(k,y_l)}^{\mu(1)} \right) \right\}_{,y_j} = 0 \] 式中, $R_{kl}^{mn}: ^4 $, \(R_{kl}^{mn}(y)= \int_{\Theta} h_{(k,y_l)}^{mn}(y,y')\mathrm{d}y'\). 根域位移影响函数的定义和它满足的方程, 可以确定 \[ R^{mn}_{kl} \equiv - H_{(k,y_l)}^{mn} \] 再通过一些数学上的操作可以得到 \[ \int_{\Theta} h_{(k,y_l)}^{mn}(y,y') u_{(m,y_n)}^{\mu(1)} \mathrm{d}y' \equiv u_{(k,y_l)}^{\mu(1)} \] 这意味着 \(u_{(k,y_l)}^{\mu(1)}\) 对应力场影响为零. 最后得到用相容的本征应变表示的精细尺度下的应变场: \[ \varepsilon_{ij}^{f} = E_{ij}^{mn} \varepsilon_{mn}^{c} - H_{(i,y_j)}^{mn} \mu_{mn}^{c} + u_{(i,y_j)}^{\mu(1)} \]

相容本征应变得到的解析本征应变影响张量

类似于降阶均质化方法, 同样设本征应变在单胞 \(\Theta\) 上的分布为分片常值函数: \[ \mu_{ij}^{f}(x,y) \approx \sum_{\alpha} \chi^{(\alpha)}(y) \mu_{ij}^{(\alpha)}(x) \] 并且考虑精细尺度下的应变场可以通过影响函数表示为 \[ \varepsilon_{ij}^{f} = E_{ij}^{mn} \varepsilon_{mn}^{c} + \sum_{\alpha}\widetilde{P}_{ij}^{mn, (\alpha)} \mu_{mn}^{(\alpha)} \] 这就得到本征应变的一阶项与本征应变的影响函数关系为 \[ u_{(i,y_j)}^{\mu(1)} = \sum_{\alpha}\widetilde{P}_{ij}^{mn, (\alpha)} \mu_{mn}^{(\alpha)} + H_{(i,y_j)}^{mn} \mu_{mn}^{c} \] 注意到 \(\mu_{ij}^{f} = \mu_{ij}^{c} + u_{(i,y_j)}^{\mu(1)}\), 将上式代入得到 \[ \sum_{\alpha} \chi^{(\alpha)}\mu_{ij}^{(\alpha)} = \sum_{\alpha}\widetilde{P}_{ij}^{mn, (\alpha)} \mu_{mn}^{(\alpha)} + E_{ij}^{mn} \mu_{mn}^{c} \] 并且宏观本征应变等于各个分块上的本征应变的体积平均: \[ \mu_{mn}^{c} = \sum_{\alpha} c^{(\alpha)} \mu_{mn}^{(\alpha)} \] 得到 \[ \sum_{\alpha} \left( \widetilde{P}_{ij}^{mn, (\alpha)} + c^{(\alpha)} E_{ij}^{mn} - I_{ij}^{mn,(\alpha)}\right) \mu_{mn}^{(\alpha)} \equiv 0 \] 对分块上的任意本征应变 \(\{ \mu_{mn}^{(\alpha)} \}\), 上式应恒成立, 最终得到关于本征应变影响函数的解析形式: \[ \widetilde{P}_{ij}^{mn, (\alpha)} \triangleq I_{ij}^{mn,(\alpha)} - c^{(\alpha)} E_{ij}^{mn}, \quad \forall \alpha \] 以及求取分块平均之后的代数形式: \[ \widetilde{P}_{ij}^{mn(\beta\alpha)} \triangleq \delta_{\alpha \beta} I_{ij}^{mn} - c^{(\alpha)} E_{ij}^{mn(\beta)}, \quad \forall \alpha \] 需要指出的是, 只有在基体主导下的变形模式才会使用如上形式的本征应变影响函数, 这是为了解决使用不相容本征应变推导得到的基体相单分块影响函数, 在基体变形主导的模式下锁定夹杂项的变形, 导致宏观表征出的应力应变关系刚度太大. 这在数值上意味着针对于基体主导的变形模式, 对求解偏微分方程得到的本征应变影响张量 \([P_{ij}^{mn}]\) 的列向量 按照上式进行修正. ==在代码实现时, 要保证修正前后张量 \(A_{ij}^{mn}\) 列向量中的最小值相等==

为判断主导的变形模式(对于三维情景, 变形模式分为三个方向上的拉伸和剪切), 可以固定基体项和夹杂项为各向同性线弹性材料, 基体相和夹杂相的模量分别设置为 \(1.0\) 和 \(10^{-8}\), 泊松比等于 \(0.0\), 根据均质化之后的宏观弹性模量计算得到 \(E_1\), \(E_2\), \(E_3\), \(G_{23}\), \(G_{13}\), \(G_{12}\), 然后对比模量的阶次, 确定主导的变形模式.

根据定义, 可以知道本征应变影响张量和弹性应变影响张量之间有如下解析关系: \[ \sum_{\beta} {P}_{kl}^{mn(\alpha\beta)} + E_{kl}^{mn(\alpha)} - I_{kl}^{mn} = 0, \quad \alpha=1,2,\ldots,N \] 修正得到的本征应变影响张量同样满足与上式相同的恒等式:

\[ \sum_{\beta} \widetilde{P}_{kl}^{mn(\alpha\beta)} + E_{kl}^{mn(\alpha)} - I_{kl}^{mn} = 0, \quad \alpha=1,2,\ldots,N \]