等效夹杂方法

考虑如下场景: 一个无穷大的弹性体 D 中嵌入一个椭球形状的夹杂 \(\Omega\), 如果夹杂的弹性模量 \(C^*_{ijkl}\)与周围弹性体的弹性模量\(C_{ijkl}\) 不同, 则称该夹杂为非均质夹杂. 因为非均质夹杂的存在, 其附近的应力场会发生改变. 考虑无穷远处的应变场强度为 \(\varepsilon^0\), 对应的应力场为 \(\sigma^0 = C : \varepsilon^0\), 应变与应力场扰动量分别为 \(\varepsilon\) 和 \(\sigma\), 因此真实的位移和应力为 \(u_i^0 + u_i\) 和 \(\sigma^0 + \sigma\).

应力扰动项 \(\sigma\) 满足应力平衡方程(不考虑外力), 以及在无穷远处等于0(或者在有限区域表面等于0)

\[ \left\{ \begin{aligned} \nabla \cdot \sigma = 0\\ \sigma \cdot n = 0 \end{aligned} \right. \]

在夹杂内外满足本构方程:

\[ \left\{ \begin{aligned} & \sigma^0+\sigma=\textcolor{red}{L^* : \left(\varepsilon^0+\varepsilon-\mu\right)} \quad \text { in } \Omega, \\ & \sigma^0+\sigma=L : \left(\varepsilon^0+\varepsilon\right) \quad \text { in } D-\Omega . \end{aligned} \right. \tag{1} \]

而 Eshelby 方法所解决的原始问题是: 考虑无穷大的弹性体, 其中嵌入一个椭球夹杂, 该夹杂弹性模量与弹性体一致, 然而夹杂内给定常数值的本征应变 \(\mu\), 由此, Eshelby 问题所满足的本构方程为

\[ \left\{ \begin{aligned} & \sigma^0+\sigma=\textcolor{red}{L : \left(\varepsilon^0+\varepsilon-\tilde{\mu}\right)} \text { in } \Omega, \\ & \sigma^0+\sigma=L : \left(\varepsilon^0+\varepsilon\right) \text { in } D-\Omega . \end{aligned} \right. \tag{2} \]

若令这两类问题等价, 则充要条件是方程组 (1) (2) \(\Omega\) 内的方程右端项相等

\[ L^* : \left(\varepsilon^0+\varepsilon-\mu\right) = L : \left(\varepsilon^0+\varepsilon-\tilde{\mu}\right) \text { in } \Omega \tag{3} \]

求解 Eshelby 本征应变问题可以得到等效本征应变 \(\tilde{\mu}\) 与夹杂内外由夹杂引起的应变场 \(\varepsilon\) 之间的关系:

\[ \begin{align} \varepsilon &= S:\tilde{\mu} \quad x \text{ in } \Omega,\\ \varepsilon(x) &= D(x):\tilde{\mu} \quad x \text{ in } D-\Omega, \end{align} \]

将这一关系代入到式 (3) 中, 给定远端应力 \(\varepsilon^0\), 以及夹杂上的本征应变 \(\mu\), 就可以得到关于等效本征应变 \(\tilde{\mu}\) 所满足的方程:

\[ L^* : \left(\varepsilon^0+\varepsilon(\tilde{\mu})-\mu\right) = L : \left(\varepsilon^0+\varepsilon(\tilde{\mu})-\tilde{\mu}\right) \text { in } \Omega \]

或者写成

\[ \delta L : \varepsilon(\tilde{\mu}) + L:\tilde{\mu} = -\delta L : \varepsilon^0 + L^{*} : \mu, \quad \delta L = L^{*} - L \]

如果 Eshelby 问题已经解出, 那么就可以得到整个区域上的应变场 \(\varepsilon\).