邱小伙的博客

矩阵指数 (Matrix Exponential) 定义为 \[ e^{A} \triangleq \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}A^k \] 因为之后要用到矩阵指数表示常微分方程组的解, 所以在上式中加入时间项 \[ e^{At} \triangleq \sum_{k=0}^{\infty} \frac{t^k}{k!}A^k \] 在接下来的计算中, 我们给出 \(e^{At}\) 而不是 \(e^A\), 因为虽然 \(e^{At}\) 与 \(e^{A}\) 计算过程相同, 但是从 \(e^A\) 的结果并不是可以很轻松地得到 \(e^{At}\) 的形式. 所以直接给出更一般的结论.

通过级数的定义式, 可以得到一些特殊矩阵级数的表达式

我们首先考虑常系数齐次系统 \[ \dot{x} = Ax \\ x(0) = x_0 \] 该方程的解为 \[ x(t) = x_0 e^{At} \]

我们来推导一下 Lagrange 乘子法与含约束问题的等价性. 以关于双变量的函数为例,: \[ Q(y_1, y_2): \mathbb{R^2} \mapsto \mathbb{R} \]

现在希望获取该函数的最小值, 同时满足约束 \[ A(y_1, y_2) = 0 \]

我们考虑的矩阵值函数, 其每个元素是关于 \(t\) 的单变量函数: \[ A(t) = [a_{ij}(t)] \] 从 \(\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}^n\) 上的函数几乎可以将单变量函数的微分运算直接平推, 只要确定了范数度量 \(\|\cdot\|\) (从 \(\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}^n\) 的函数就没有那么平凡).

考虑如下微分 \[ \frac{\mathrm{d}~}{\mathrm{d} t} e^{At} = \frac{\mathrm{d}~}{\mathrm{d} t} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{t^k}{k!}A^k = A\sum_{k=1}^{\infty} \frac{t^{k-1}}{(k-1)!}A^{k-1} = A e^{At} = e^{At} A \] 对 \(\det A(t)\) 的导数, 可以有两种方式看. 一种是利用定义 \[ \det A(t) = \sum_{\{\sigma_i\}} (-1)^{\mathrm{sign} \{\sigma_i\}} a_{1\sigma_1}(t) a_{2\sigma_2}(t) \ldots a_{n\sigma_n}(t) \]

物主代词和人称代词

物主代词除了要记住词干随人称的变化形式之外, 还要注意词尾的变化, 这与冠词的词尾变化是一样的.

加第三格补足语的常见动词

不规则动词的过去时与过去分词词尾变化

在介绍不规则动词变位之前, 首先介绍动词过去时与过去分词随人称的词尾变化. (第二) 过去分词不会再随人称发生变换, 但是不定式和过去时的动词的词尾还是会随人称变化的, 过去时的词尾变化一般为

不定式的词尾变化与过去时稍有不同, 这体现在第一和第三人称单数情景. 不定式第一人称单数 (ich) 词干后加 -e, 第三人称单数 (er/sie/es) 词干后加 -t, 而过去时的第一和第三人称单数词尾不加任何东西, 这有些类似于情态动词的词尾变化 (情态动词的现在时也是第一第三人称单数词尾相同).

主要参考:

• 德语语法活学活用, Friederike Jin, Ute Voß
• 实用英语德语比较语法, 芦力军, 外研社

只跟第三格的介词

基本解只与方程相关, 与边界条件无关. 以下将考虑 Laplace 方程, 热方程和波动方程的基本解.

方程 \(L\) 基本解的定义为右端项为 delta 函数的响应: \[ L[u] = \delta \]

待求解积分的解析性质

在 \(p\)-范数下的圆周率定义为 \[ \pi_p \triangleq \frac{2}{p} \int_{0}^{1} \left( u^{1-p} + (1-u)^{1-p} \right)^{1/p} ~\mathrm{d}u, \quad 1 < p \leq \infty \tag{1} \] 圆周率 \(\pi_p\) 具有如下性质

1. \(\pi_2\) 是最小值;
2. 如果 \({1}/{p} + {1}/{q} = 1\), 那么 \(\pi_p = \pi_q\).

考虑如图所示的弹性体, 想象其中有一根细长杆, 在周围弹性介质的作用下发生变形, 其构型为 \(AP\). 将周围的弹性介质 \(D\) 移除之后, 细长杆恢复原来的形貌, 构型为 \(AP'\). 点 \(P\) 处不仅发生了位移, 并且如果考虑固连在点 \(P\) 处的坐标系, 在变形前后, 该坐标系会产生旋转. 接下来我们将通过公式推导得到刻画点 \(P\) 的位移与旋转.

参考文献: Gilbert Strang, Introduction to applied mathematics

解析函数在曲线上的积分: Cauchy 定理

首先, 我们先计算一些简单的复积分例子做一下热身:

首先, 我们来考虑一维情景下 Gauss 函数在 \(\mathbb{R}\) 上的积分: \[ I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\pi x^2} \mathrm{d}x \tag{1} \] 这可以通过 “升一维” (replica trick) 的办法去做: \[ I^2 = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\pi x^2} \mathrm{d}x \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\pi y^2} \mathrm{d}y = \iint_{\mathbb{R}^2} e^{-\pi (x^2 + y^2)} \mathrm{d}x\mathrm{d}y \] 变换到极坐标系中, 得到 \[ x^2 + y^2 = r^2, \quad \mathrm{d}x\mathrm{d}y = r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \] 所以 \[ I^2 = \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_{0}^{\infty} e^{-\pi r^2} r\mathrm{d}r = 10 \]

参考文献：[1]TAYLOR R L, OÑATE E, UBACH P A. Finite Element Analysis of Membrane Structures[M/OL]//OÑATE E, KRÖPLIN B. Textile Composites and Inflatable Structures: 卷 3. Berlin/Heidelberg: Springer-Verlag, 2005: 47-68[2024-05-24]. http://link.springer.com/10.1007/1-4020-3317-6_4. DOI:10.1007/1-4020-3317-6_4.

单元的插值函数

考虑三节点的膜单元, 如图所示

参考文献: Gilbert Strang, Introduction to applied mathematics

在这篇文章中, 我将从求解微分方程出发, 只引入必要的复分析方法作为工具. 此外, 因为复数 \(z\) \[ z = x + iy, \quad x,y \in \mathbb{R} \] 只包含两个实数变量, 所以方程的定解域也限制在二维平面上.

参考文献: Gilbert Strang, Introduction to applied mathematics

Bessel 函数是求解二维圆形区域上的振型方程引入的, 振型方程为 \[ \Delta u + \lambda u = 0, \quad u=0 \quad\text{on}\quad B(1,0) \] 写成极坐标的形式为 \[ \frac{\partial^2 u}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2} + \lambda u = 0 \tag{1} \] 如果将极坐标上的方程解 \(u(r,\theta)\) 写成分离变量的形式, \(u(r,\theta) = A(\theta)B(r)\)​, 代入到上述方程中 \[ AB^{\prime\prime} + \frac{1}{r}AB^{\prime} + \frac{1}{r^2}A^{\prime\prime}B + \lambda AB = 0 \]