在二维空间中的函数 \(u:\mathbb{R}^2 \mapsto \mathbb{R}\), 满足 Laplace 方程: \[ -\Delta u = 0 \] 式中 \(\Delta\) 为 Laplace 算子, 在直角坐标下为 \[ \Delta = \frac{\partial^2~}{\partial x^2} + \frac{\partial^2~}{\partial y^2} \tag{D} \] 在极坐标下写作 \[ \Delta = \frac{\partial^2~}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial~}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2~}{\partial \theta^2} \tag{P} \]
Chebyshev 多项式的引入需要用关于 \(\cos \theta\) 的多项式表示 \(\cos n\theta\), 这可以通过 Euler 公式得到: \[ \cos n\theta + i\sin n \theta = e^{i n \theta} = (\cos \theta + i\sin \theta)^{n} = \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k}(i\sin \theta)^{k}(\cos\theta)^{n-k} \] 因此, \(\cos n\theta\) 等于上式右端的实数部分: \[ \begin{aligned} \cos n\theta &= \mathrm{Re}~ \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k}(i)^{k}(\sin \theta)^{k}(\cos\theta)^{n-k} = \sum_{2k\leq n} C_{n}^{2k}(-1)^{k}(\sin \theta)^{2k}(\cos\theta)^{n-2k} \\ &= \sum_{2k\leq n} C_{n}^{2k}(-1)^{k}(1 - \cos^2\theta)^{k}(\cos\theta)^{n-2k} \triangleq T_{n}(\cos \theta) \end{aligned} \tag{1} \] 而 Chebyshev 多项式就等于 \(T_n\), \(n=1,2,\ldots\)
例如 PTNIDX 有两列数据, 第一列是单元的 tag,
第二列是单元所属分块的编号, 那么想要找到所有分块编号为 iptn
的单元编号, 可以用如下代码实现: 1
elemID = PTNIDX(PTNIDX(:,2)==iptn,1)
首先, PTNIDX(:,2)==iptn 返回长度为
size(PTNIDX,1) 的逻辑数组, 逻辑数组可以作为数组的索引,
并且逻辑值为false 的编号不返回数据, 例如返回的逻辑数组中
true 的数量为 ntrue, 那么 elemID
维度就是 ntrue x 1
如果想找到某一个单元标签所在数组 elemID 索引位置,
那么使用函数 find: 1
eidx = find(elemID==etag);
函数 find 会返回一个索引数组(如果确实找到这个元素的话),
注意这与逻辑数组的索引方式是不同的
连续的Fourier 级数将 \(L_2([0,2 \pi])\) 空间中函数 \(f\) 与 \(l_2\) 空间中的 Fourier 系数 \(c_k\) 关联起来: \[ f(x) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} c_k e^{i kx}, \quad c_k = \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f(x) e^{-i kx} \mathrm{d} x \]
对于离散情景, 如果已知函数 \(f\) 在 \([0, 2\pi]\) 上 \(n\) 个点处的取值 \(f_0, f_1, \dots,f_{n-1}\), 那么, 是否存在一个映射关系 \(F: \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}^n\), 得到对应的 Fourier 级数系数 \(c_0, c_1, \dots,c_{n-1}\) 呢? 这就是离散的 Fourier 变换.
首先, 定义两种向量之间的运算: 乘积 \(f \circ g\) 和卷积 \(f*g\):
向量 \(f,g\) 之间的乘积计算 \(f \circ g: \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}^n\) 定义为 \[ (f \circ g)_k \triangleq f_k g_k, \quad k = 0,1,\ldots,n-1 \] 向量 \(f,g\) 之间的卷积计算 \(f*g: \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}^n\) 定义为 \[ (f*g)_k \triangleq \sum_{i=0}^{n-1} f_i g_{k-i}, \quad k = 0,1,\ldots,n-1 \] 我在这篇文章中希望说明的是, 向量的 乘积/卷积 运算, 总是可以通过 卷积/乘积 运算得到同样的结果. 将这两种运算联系到一起的就是离散卷积定理.
参考文献：MOULINEC H, SUQUET P. A numerical method for computing the overall response of nonlinear composites with complex microstructure[J/OL]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1998, 157(1-2): 69-94. DOI:10.1016/S0045-7825(97)00218-1.
对于非均质线弹性材料，其模量为 \(\mathbb{L}:Y \mapsto \mathbb{S}^4\)，单胞上的应变与应力为 \(\varepsilon, \sigma:Y \mapsto \mathbb{S}^2\)，在单胞上满足无体力的平衡方程： \[ \nabla \cdot \sigma = 0 \tag{1} \] 以及线弹性本构方程 \[ \sigma = \mathbb{L} : \varepsilon \tag{2} \] 引入一个参考均质模量 \(\mathbb{L}^0 \in \mathbb{S}^2\)，并定义 \[ \delta \mathbb{L} \triangleq \mathbb{L}- \mathbb{L}^0 \] 以及极化应力 \(p:Y \mapsto \mathbb{S}^2\) \[ p \triangleq \delta \mathbb{L}:\varepsilon \]
考虑在圆盘 \(\{(x,y) \mid x^2+y^2 \leq 1\}\) 上的 Laplace 方程: \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 \tag{1} \] 以及圆盘边界条件 \[ u(1,\theta) := u_0(\theta) \]
对于 \([0,1]\) 上的周期函数 \(f(x):\mathbb{R} \mapsto \mathbb{C}\), 其内积定义为 \[ \langle f(x), g(x) \rangle \triangleq \frac{1}{L} \int_0^{L} f(x) \overline{g(x)} ~\mathrm{d}x \tag{$\star$} \] \(f(x)\) 的 Fourier 级数表示为 \[ f(x) \sim \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k e^{i 2\pi k x}, \tag{1} \]
对于 \([0,1]\) 上的周期函数 \(f(x)\), 并延拓到整个 \(\mathbb{R}\) 上, \(f(x)\) 的 Fourier 级数表示为 \[ f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} a_k \cos 2\pi k x + \sum_{k=1}^{\infty} b_k \sin 2\pi k x \tag{1} \] 根据三角函数基的正交性 (正交性在文末证明): \[ \int_{0}^{1} \cos 2\pi k x \cos 2\pi m x ~\mathrm{d} x = \begin{cases} 0, \quad &k \neq m \\ \frac{1}{2}, \quad &k = m \\ \end{cases} \] ( 三角函数基虽然正交, 但不是规范正交的! )
参考文献: HASHIN Z, SHTRIKMAN S. A variational approach to the theory of the elastic behaviour of multiphase materials[J/OL]. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 1963, 11(2): 127-140. DOI:10.1016/0022-5096(63)90060-7.
Hashin-Shtrikman 变分原理考虑两个单胞 \(Y\) 和 \(\widetilde Y\), 两个单胞选用同样的位移边界条件. 单胞 \(Y\) 材料为各向同性, 模量为 \(L_{ijkl}^{0}\), 在位移边界条件下单胞内的应变 \(\varepsilon_{ij}^{0}\) 为常数. 单胞 \(Y\) 上的应力为: \[ \sigma_{ij}^0 = L_{ijkl}^0 \varepsilon_{kl}^0 \] 单胞 \(\widetilde Y\) 由非均质材料构成, 其模量为 \(L_{ijkl}(y):\tilde Y \mapsto \mathbb{S}^4\). 在与单胞 \(Y\) 相同的位移边界条件作用下, 单胞 \(\widetilde Y\) 上的应变与应力是空间坐标的函数, 记为 \(\varepsilon_{ij}(y):\tilde Y \mapsto \mathbb{S}^2\) 和 \(\sigma_{ij}(y):\tilde Y \mapsto \mathbb{S}^2\). 定义单胞 \(Y\) 与 \(\widetilde Y\) 之间模量的差值 \(\delta L_{ijkl}\) 为 \[ \delta L_{ijkl} \triangleq L_{ijkl} - L_{ijkl}^{0} \]
Hashin-Shtrikman 变分原理中给出的泛函表达式为 \[ U^p (p_{ij}, \widetilde\varepsilon_{ij}) = \underbrace{\frac{1}{2}\int \bar\sigma_{ij} \bar\varepsilon_{ij}\mathrm{d} y}_{\triangleq \bar U} + \underbrace{\frac{1}{2} \int p_{ij}(y) \widetilde\varepsilon_{ij}(y) \mathrm{d} y}_{\triangleq \widetilde U} - \frac{1}{2} \int \left( p_{ij}(y)~\delta L_{ijkl}^{-1}(y)~p_{kl}(y) - 2p_{ij}(y) \bar\varepsilon_{ij}\right) \mathrm{d} y \]
参考文献：Micromechanics of Composite Materials，George J. Dvorak，section 2.3
Hill（1964）给出一种横观各向同性材料更紧凑的表达方式： \[ \left[\begin{array}{l} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \\ \sigma_{12} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc} n & l & l & 0 & 0 & 0 \\ l & k+m & k-m & 0 & 0 & 0 \\ l & k-m & k+m & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & m & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & p & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & p \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{array}\right] \] 式中 1 方向为纤维主方向，参数 \(k,l,n,m,p\) 与横观各向同性的工程常数之间的对应关系为
参考文献：Fish,Practical multiscaling, chapter 4.3.5
给定单胞各个相的弹性模量 \(\mathbb{L}^{(\alpha)}, \alpha=1,2,\ldots,N\)，以及均质化之后的模量 \(\mathbb{L}^c\)，式（4.119a）和式（4.119b）给出关于 \(N\) 个未知量 \(E_{mn}^{kl(\alpha)}\) 的 2 个方程，式（4.119c）和式（4.119d）给出关于 \(N^2\) 个未知量 \(P_{mn}^{kl(\alpha\beta)}\) 的 \(2N\) 个方程，\(N\) 为 Partition 的个数。当 \(N=2\) 时，也即单胞只分成两个分块，从方程的未知量个数来看，是可以得到封闭解的。
参考文献：Fish,Practical multiscaling, chapter 4.3.5
Reduced order 假设分块上的物理量是常值，为描述分块常值函数，我们定义 Partition \(Y^\alpha\) 上的示性函数 \(\chi^{(\alpha)}(y):Y\mapsto\mathbb{R}\) ： \[ \chi^{(\alpha)}(y) \triangleq \begin{cases} 1, \quad y \in Y^{(\alpha)}\\ 0, \quad y \notin Y^{(\alpha)}\\ \end{cases} \]
四阶单位张量可以表示为含有四个自由指标 Kronecker delta 记号的组合: \(\delta_{ij} \delta_{kl}\). 不过, 与二阶单位张量不同的是, 改变指标的顺序, 会得到三种不同的四阶单位张量: \[ \delta_{ij} \delta_{kl} \triangleq {\mathcal{F}}_{iljk} \triangleq{\mathcal{E}}_{ikjl} \triangleq {\mathcal{I}}_{ijkl} \]
或者
\[ {\mathcal{I}}_{ijkl} \triangleq \delta_{ij} \delta_{kl} ,\quad {\mathcal{E}}_{ijkl} \triangleq \delta_{ik} \delta_{jl} ,\quad {\mathcal{F}}_{ijkl} \triangleq \delta_{il} \delta_{jk} \tag{1} \]