函数范数: 等价类的引入

定义某一空间 \(V\) 上的范数, 就是确定该空间上某一个非负实值映射 \(\| \cdot \|\), 且该映射满足如下条件:

1. 对任意的 \(v \in V\), \(\| v \| \geq 0\) 成立, 当且仅当 \(v = 0\) 时 \(\| v \| = 0\);
2. 对任意的 \(c \in \mathbb{R}\) 和 \(v \in V\), \(\|cv\| = |c| \|v\|\);
3. 对任意的 \(u, v \in V\), 不等式 \(\|u+v\| \leq \|u\| + \|v\|\) 成立.

我现在想处理的是, 当空间的概念从有限维的向量空间, 拓展到无穷维的函数空间上时, 条件 1 中 \(v = 0\) 的定义也需要加以推广, 以适应这个条件中 \(v=0\) 与 \(\|v\| = 0\) 的等价性. 我们以函数的 \(1-\)范数 \[ \begin{equation} \|\cdot\| = \int|\cdot| \mathrm{d} \Omega \end{equation} \] 以及定义在 \(\Omega = [-1, 1]\) 上的两个函数 \(f(x)\), \(g(x)\) \[ \begin{equation} f(x) = \begin{cases} 1 \quad x \geq 0 \\ 0 \quad x < 0 \end{cases} \quad \quad g(x) = \begin{cases} 1 \quad x > 0 \\ 0 \quad x \leq 0 \end{cases} \end{equation} \] 为例. 函数 \(f-g\) 的范数为 \[ \begin{equation} \|f-g\| = \int_{-1}^{1} |f-g| \mathrm{d}x = 0, \end{equation} \] 根据范数成立的条件 1, 则应该有 \(f-g=0\), 或者等价的 \(f=g\). 可是, 函数 \(f(x)\) 与 \(g(x)\) 在 \(x=0\) 处并不相等, 如果用数学味比较浓的表达, 那就是

函数 \(f(x)\) 与 \(g(x)\) 在区间 \([-1,1]\) 上并不是逐点 (pointwise) 相等的.

为了调和这一概念上的矛盾, 我们有 2 个思路: 1) 修改范数的定义; 2) 修改函数相等的定义.

对于第 1 个思路, 我们可以验证, 如果函数的范数定义为 \[ \|\cdot\| = \max_{-1 \leq x \leq 1} |\cdot|, \] 那么 \(\|f-g\|\) 等价于 \(f\), \(g\) 逐点相等. 这实际是函数的 \(\infty-\)范数.

至于思路 2, 我们需要引入等价类的概念. 首先我们定义 \(V\) 的子空间 \(V^0\) \[ \begin{equation} V^0 = \{ v^0 \mid \| v^0 \|=0 \}. \end{equation} \] 那么, 对任意 \(v \in V\), \(v\) 与所有其它的函数 \(v+v^0\), \(v^0 \in V^0\) 共同组成同一个等价类.

这样, 我们重新定义相等 "\(=\)" 的概念为

\(f=g\) \(\Leftrightarrow\) \(f\) 与 \(g\) 属于同一个等价类, 即 \(f = g+v^0\), \(v^0 \in V^0\).

在上述相等的意义下, \(f\) 与 \(g\) 并不一定是逐点相等的, 但只相差一个范数为 0 的函数 \(v^0\). 因此,

\(f=g\) \(\Leftrightarrow\) \(f = g+v^0\), \(v^0 \in V^0\) \(\Leftrightarrow\) \(\| f-g \| = 0\).

这样我们就保证了范数定义中条件 1 的等价性.