二维情景下 Laplace 算子的极坐标形式

写这篇文档的动机是我实在是厌倦了通过坐标变换，推导二维情景下 Laplace 算子的极坐标形式。二维空间中的函数 \(u\) 满足 Laplace 方程 \[ -\Delta u = 0, \] 在直角坐标系下，Laplace 算子表示为 \[ \Delta = \frac{\partial^2~}{\partial x^2} + \frac{\partial^2~}{\partial y^2} \tag{D} \] 极坐标下的 Laplace 算子可通过坐标变换 \[ x = r\cos \theta, \quad y = r \sin \theta \] 得到 \[ \Delta = \frac{\partial^2~}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial~}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2~}{\partial \theta^2}. \tag{P} \] 现在请给出上式的推导：

我尝试将不同坐标系下的算子用矩阵关联。将一阶微分写成矩阵的形式，有： \[ \begin{pmatrix} \frac{\partial~}{\partial x} \\ \frac{\partial~}{\partial y} \end{pmatrix} = R(\theta) \begin{pmatrix} \frac{\partial~}{\partial r} \\ \frac{1}{r} \frac{\partial~}{\partial \theta} \end{pmatrix} \] 式中，\(R(\theta)\) 为旋转矩阵， \[ R(\theta) \triangleq \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}. \] 但是，无法再继续得到用矩阵表示的二阶偏导数形式，这是因为算子的系数是非线性的。最终我在 Math stack Exchange 上找到了这一篇回答：How to remember laplacian in polar and (hyper)spherical coordinates?。设直角坐标下的函数形式为 \(u(x,y)\)，考虑在轴线 \((x,0)\) 的特殊情况，此时 \(r = x\)，所以 \(u_{xx} = u_{rr}\)。现在考虑固定 \(x\) 或 \(r\)，此时函数 \(u\) 表示为关于 \(\theta\) 的函数：

\[ u_{\theta}(\theta) = u(r\cos\theta, r\sin\theta). \] 函数 \(u_{\theta}\) 对 \(\theta\) 的一阶导数为 \[ \frac{\mathrm{d} u_{\theta}}{\mathrm{d} \theta} = \frac{\mathrm{d} u }{\mathrm{d} x} (-r\sin\theta)|_{\theta=0} + \frac{\mathrm{d} u }{\mathrm{d} y}(r\cos\theta)|_{\theta=0} = r \frac{\mathrm{d} u }{\mathrm{d} y}. \] 接下来要求二阶导数，注意到不能直接对上式代入 \(\theta=0\) 之后的关系式 \({\mathrm{d} u_{\theta}}/{\mathrm{d} \theta}= r u_y\) 求导，得到 \({\mathrm{d}^2 u_{\theta}}/{\mathrm{d} \theta^2}= r^2 u_{yy}\)， \[ \left.\frac{\mathrm{d}^2 u_{\theta}}{\mathrm{d} \theta^2}\right|_{\theta=0} = -\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} r + \frac{\mathrm{d}^{2} u}{\mathrm{d} y^{2}} r^2 \] 注意到 \(u_x = u_r\)，所以 \(\mathrm{d}^{2} u/\mathrm{d} y^{2}\) 可以表示为 \[ \frac{\mathrm{d}^{2} u}{\mathrm{d} y^{2}} = \frac{1}{r} \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} r} + \frac{1}{r^2}\frac{\mathrm{d}^2 u_{\theta}}{\mathrm{d} \theta^2}. \] 这就得到 Laplace 算子的极坐标形式 (P)。