Fourier 级数的常用性质

发表于 2024-05-04 更新于 2026-06-25 分类于数学阅读次数：

这篇文档主要参考明平兵老师在学校开设应用偏微分方程的课程讲义，整理了（我认为）Fourier 级数的常用性质，具体有：

Parseval 等式
Fourier 级数的收敛性
Riemann-Lebesgue 引理

在介绍性质之前，首先给出本文档中使用的 Fourier 级数的系数的定义。定义周期为 \(1\) 的函数空间的内积为

\[ \begin{equation}\label{eq:df_ip} \langle f(x), g(x) \rangle \triangleq \int_0^{1} f(x) \overline{g(x)} ~\mathrm{d}x. \end{equation} \] 一方面，函数 \(f\) 的 Fourier 级数可使用指数基函数展开为 \[ f(x) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k e^{i 2\pi k x}, \] 式中，级数项的系数 \(c_k\) 由式 \(\eqref{eq:df_ip}\) 定义的内积给出 \[ \begin{equation}\label{eq:fac_exp} c_k = \langle f(x), e^{i 2\pi k x} \rangle = \int_{0}^{1} f(x) e^{-i 2\pi k x} ~\mathrm{d}x. \end{equation} \]

另一方面，函数 \(f\) 的 Fourier 级数也可以使用三角函数展开， \[ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} a_k \cos 2\pi k x + \sum_{k=1}^{\infty} b_k \sin 2\pi k x, \]

三角函数的系数等于

\[ \begin{aligned} a_k &= 2 \int_{0}^{1} f(x) \cos 2\pi k x ~\mathrm{d}x, \quad k=0,1,2,\ldots\,,\\ b_k &= 2 \int_{0}^{1} f(x) \sin 2\pi k x ~\mathrm{d}x, \quad k=1,2,\ldots\,. \end{aligned} \]

Parseval 等式

Parseval 等式给出函数 \(f\) 和序列 \(\{ c_k \}\) 在能量范数意义下的一致性： \[ \int_{0}^{1} |f(x)|^2 ~\mathrm{d}x = \sum_{k=-\infty}^{\infty} |c_k|^2. \] Parseval 公式可通过函数逼近解释。对任意有限和 \[ S_N(x) \triangleq \sum_{k=0}^{N} \left( A_k \cos 2\pi k x + B_k \sin 2\pi k x \right), \tag{3} \] Fourier 系数是使得在平方均值意义下 \(S_N(x)\) 对 \(f(x)\) 的最佳估计。具体地，定义如下误差度量： \[ E(A_k,B_k) \triangleq \int_0^1 \left( f(x) - \sum_{k=0}^{N} \left( A_k \cos 2\pi k x + B_k \sin 2\pi k x \right) \right)^2 \mathrm{d}x, \] 该误差函数在系数 \(A_k := a_k\)，\(B_k := b_k\) 时取最小值。将误差函数对 \(A_k\) 求偏导数得到 \[ \begin{aligned} \frac{\partial E}{ \partial A_k} &= -2\int_0^1 \left( f(x) - \sum_{k=0}^{N} \left( A_k \cos 2\pi k x + B_k \sin 2\pi k x \right) \right) \cos 2\pi k x \mathrm{d}x\\ &= -2\int_0^1 f(x) \cos 2\pi k x ~\mathrm{d}x + A_k. \end{aligned} \] 令上式等于 0，得到 \[ A_k = 2\int_0^1 f(x) \cos 2\pi k x ~\mathrm{d}x = a_k, \quad B_k = 2\int_0^1 f(x) \sin 2\pi k x ~\mathrm{d}x = b_k. \] 可通过 Parseval 等式直接得到 Bessel 不等式： \[ \int_{0}^{1} |f(x)|^2 ~\mathrm{d}x \geq \sum_{k\in K} |c_k|^2, \quad K \subseteq \mathbb{Z}, \] 式中，\(\mathbb{Z}\) 是整数集合。

Fourier 级数的收敛性

根据 Parseval 等式，得到原函数 \(f\) 和有限和 \(S_{N}\) 之间的 \(L_{2}\) 误差等于 \[ \int_{0}^{1} |f(x) - S_N(x)|^2 ~\mathrm{d}x = \sum_{|k| > N} |c_k|^2, \] 当函数 \(f\in L_{2}\) 时，可以看到，若有限和项数 \(N \rightarrow \infty\)，函数 \(S_N\) 在 \(L_2\) 范数意义下收敛到 \(f\)。需要指出，这一收敛性的结论是几乎处处成立的，如果得到点 \(x\) 处的 Fourier 级数不总是收敛到对应的函数值 \(f(x)\)，这与上述收敛性的陈述并不矛盾。这就是著名的“Gibbs 现象”。例如给定在 \((0,2\pi)\) 上的周期函数 \(f(x) = (\pi - x)/2\)，其 Fourier 级数展开式为 \[ f(x) = \frac{1}{1} \sin x + \frac{1}{2} \sin 2x + \cdots + \frac{1}{n} \sin nx + \cdots\,. \] 函数 \(f\) 的部分和等于 \[ S_N(x) = \sum_{k=1}^{N} \frac{1}{k} \sin kx, \] 接下来将以范例说明，当 \(N\rightarrow \infty\) 时，在区间 \((0, \frac{\pi}{N})\) 上函数 \(S_{N}\) 的最大值并不收敛到 \(f\) 的最大值，也即 \(\frac{\pi}{2}\)。首先，函数 \(S_N\) 的导函数等于：

\[ S_N^{\prime}(x) = \frac{\sin \left(\frac{Nx}{2}\right) }{\sin \left(\frac{x}{2}\right) } \cos \Big( \frac{N+1}{2}x \Big), \] 进而得到当 \(x = \pi/(N+1)\) 时，函数 \(S_N\) 在 \((0, \frac{\pi}{N})\) 取到最大值，所以有 \[ \begin{equation}\label{eq:x} \max_{x\in(0,\frac{\pi}{N})} S_N(x) = S_N(\frac{\pi}{N+1}) = \sum_{k=1}^{N} \frac{1}{k} \sin \frac{k\pi}{N+1}. \end{equation} \] 如果记 \[ \frac{k\pi}{N+1} = t_k, \quad \frac{\pi}{N+1} = \Delta t, \] 那么式 \(\eqref{eq:x}\) 改写为 \[ \max_{x\in(0,\frac{\pi}{N})} S_N(x) = \sum_{k=1}^{N} \frac{\sin t_k}{t_k} \Delta t. \] 而当 \(N \rightarrow \infty\) 时，上式趋近于积分 \[ \max_{x\in(0,\frac{\pi}{N})} S_N(x) \rightarrow \int_{0}^{\pi} \frac{\sin t}{t} ~\mathrm{d}t \approx 1.85194, \] 这与函数 \(f\) 最大值的相对误差为 \[ \frac{|\int_{0}^{\pi} \frac{\sin t}{t} - \frac{\pi}{2}|}{\frac{\pi}{2}} \times 100\,\% \approx 17.898\,\%. \] 将 \(N=3,4,5,10,20\) 的部分和函数 \(S_N\) 绘图，结果如下

Riemann-Lebesgue 引理

以下希望建立起一个对序列 \(\{c_k\}\) 与函数 \(f\) 光滑性的直观印象： 函数 \(f\) 越光滑，序列 \(\{c_k\}\) 收敛到 0 的速度就越快。 首先可以通过系数表达式 \(\eqref{eq:fac_exp}\) 得到关于 \(c_k\) 粗糙的估计：

\[ |c_k| \leq \int_{0}^{1} |f(x)| ~\mathrm{d}x, \quad \forall k \in \mathbb{Z} \] 接下来将要说明的是，当 \(|k| \rightarrow \infty\) 时，\(c_k \rightarrow 0\)*。这一结论由 Riemann-Lebesgue 引理给出：若 \(f\) 在 \((0,1)\) 上可积，那么当 \(|k| \rightarrow \infty\) 时，\(c_k \rightarrow 0\)。可以通过构造如下列式来证明这一引理。若 \(f(x)\) 偏移 \(x_0\)，对应的 Fourier 级数系数 \(c_k^{\prime}\) 为： \[ c_k^{\prime} = \int_{0}^{1} f(x+x_0) e^{-i 2\pi kx} ~\mathrm{d}x \stackrel{y\doteq x+x_0}{=} \int_{0}^{1} f(y) e^{-i 2\pi k (y-x_0)} ~\mathrm{d}x = e^{i 2\pi k x_0} c_k \]

若 \(x_0 := \frac{1}{2k}\)，那么 \(c_k^{\prime} = -c_k\)，所以 \[ c_k = \frac{c_k - c_k^{\prime}}{2} = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \left( f(x)-f(x+\frac{1}{2k}) \right) e^{-i 2\pi kx} ~\mathrm{d}x. \] 由上式可以看到，如果函数 \(f\) 连续，那么当 \(|k| \rightarrow \infty\) 时，\(c_k \rightarrow 0\)。对于一般的可积函数 \(f\)，给定 \(\varepsilon > 0\)，总可以确定某一个连续函数 \(g\)，使得 \[ \int_{0}^{1} |f(x) - g(x)| ~\mathrm{d}x < \frac{\varepsilon}{2}, \] 以及某一个 \(N\)，使得当 \(|k| > N\) 时，\(c_k(g) < \frac{\varepsilon}{2}\)，由此得到 \[ \begin{equation}\label{eq:ck} |c_k(f)| \leq |c_k(f) - c_k(g)| + |c_k(g)| \leq \int_{0}^{1} |f(x) - g(x)| ~\mathrm{d}x + \frac{\varepsilon}{2} \leq \varepsilon. \end{equation} \] 这就证明了 Riemann-Lebesgue 引理。\(\blacksquare\)

在知道函数 \(f\) 光滑性的信息之后，可以对 \(c_k\) 收敛到 0 的速度有一个估计。如果函数 \(f \in C^1(\mathbb{R})\)，那么通过下面简单的计算可以得到系数 \(c_k\) 的收敛速度为 \(\mathcal{O}(\frac{1}{|k|})\) ： \[ \begin{aligned} c_k &= \int_{0}^{1} f(x) e^{-i 2\pi k x} ~\mathrm{d}x = \frac{1}{-i 2\pi k} \int_{0}^{1} f(x) ~\mathrm{d}e^{-i 2\pi k x} \\ &= \frac{1}{i 2\pi k} \int_{0}^{1} e^{-i 2\pi k x} ~\mathrm{d}f(x) + \underbrace{\left. \frac{1}{-i 2\pi k} f(x) e^{-i 2\pi k x}\right\vert_{0}^{1}}_{=0} \\ &= \frac{1}{i 2\pi k} \int_{0}^{1} e^{-i 2\pi k x} f'(x) ~\mathrm{d}x = \mathcal{O}(\frac{1}{|k|}). \end{aligned} \] 如果函数 \(f\) 是 Lipschitz 连续的，也即 \[ |f(x) - f(y)| \leq \mathrm{Lip}(f) |x-y|, \quad \forall x,y \in \mathbb{R}, \] 那么代入式 \(\eqref{eq:ck}\) 中得到 \[ |c_k| \leq \frac{\mathrm{Lip}(f)}{4 |k|}. \] 如果函数 \(f\) 具有更高阶的光滑性，那么 \[ c_k = \frac{1}{i 2\pi k} \int_{0}^{1} e^{-i 2\pi k x} f'(x) ~\mathrm{d} x = \frac{1}{(i 2\pi k)^2} \int_{0}^{1} e^{-i 2\pi k x} f''(x) ~\mathrm{d} x = \cdots. \] 以上定理处理的对象是 Fourier 级数。Fourier 函数变换同样有类似的 Riemann-Lebesgue 引理：若 \(f\) 在 \(\mathbb{R}\) 上可积，那么当 \(\xi \rightarrow \infty\) 时， \[ \widehat f(\xi) = \int_{\mathbb{R}} f(x) e^{i 2 \pi \xi x} ~\mathrm{d}x \rightarrow 0. \] 进而可以直接得到以下结论：若函数 \(f(x)\) 在 \(\mathbb{R}\) 上可积，那么 \[ \int_{\mathbb{R}} f(x) \cos(tx) ~\mathrm{d}x \rightarrow 0 \text{ and } \int_{\mathbb{R}} f(x) \sin(tx) ~\mathrm{d}x \rightarrow 0, \quad \text{ when } t \rightarrow \infty. \]