Fourier 级数的三角与指数系数之间的关系
Fourier 级数项既可以用三角函数表示，也可以用指数函数表示，两种级数表示同一个函数，因此级数项前的系数必然存在某种联系，这篇文档希望给出两种不同表示方法下系数之间的关系。一方面，对于 \([0,1]\) 上的周期函数 \(f(x)\)，其 Fourier 级数用三角函数可以表示为 \[ \begin{equation}\label{eq:fs_tri} f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} a_k \cos 2\pi k x + \sum_{k=1}^{\infty} b_k \sin 2\pi k x, \end{equation} \] 根据三角函数基的正交性（见文末的证明） \[ \int_{0}^{1} \cos 2\pi k x \cos 2\pi m x ~\mathrm{d} x = \begin{cases} 0, \quad &k \neq m, \\ \frac{1}{2}, \quad &k = m, \\ \end{cases} \] 可以确定由式 \(\eqref{eq:fs_tri}\) 表示的 Fourier 级数系数为 \[ \begin{equation}\label{eq:fs_fac_tri} \begin{aligned} a_k &= 2 \int_{0}^{1} f(x) \cos 2\pi k x ~\mathrm{d}x, \quad k=0,1,2,\ldots\,,\\ b_k &= 2 \int_{0}^{1} f(x) \sin 2\pi k x ~\mathrm{d}x, \quad k=1,2,\ldots\,. \end{aligned} \end{equation} \] 另一方面，如果将函数 \(f(x)\) 展开为指数表示的 Fourier 级数， \[ \begin{equation}\label{eq:fs_exp} f(x) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k e^{i 2\pi k x}, \end{equation} \] 那么根据指数函数的规范正交性（见文末的证明），可以得到 \[ \begin{equation}\label{eq:fs_fac_exp} c_k = \langle f(x), e^{i 2\pi k x} \rangle = \int_{0}^{1} f(x) e^{-i 2\pi k x} ~\mathrm{d}x, \end{equation} \] 式中，\(\langle \square,\,\square \rangle\) 是周期为 \(1\) 的函数函数空间的内积运算。一般的，周期为 \(L\) 的函数空间中的内积定义为： \[ \begin{equation}\label{eq:df_inner_pro} \langle f(x), g(x) \rangle \triangleq \frac{1}{L} \int_0^{L} f(x) \overline{g(x)} ~\mathrm{d}x. \end{equation} \] 以上分别给出三角函数和指数函数表示的 Fourier 级数，现在希望系数 \(\eqref{eq:fs_fac_tri}\) 和 \(\eqref{eq:fs_fac_exp}\) 的关系。将式 \(\eqref{eq:fs_fac_exp}\) 积分项中的 \(e^{-i2\pi k x}\) 展开得到 \[ \begin{aligned} c_k &= \int_{0}^{1} f(x) \cos{2\pi k x} ~\mathrm{d}x - i\int_{0}^{1} f(x) \sin{2\pi k x} ~\mathrm{d}x, \\ c_{-k} &= \overline{c}_{k} = \int_{0}^{1} f(x) \cos{2\pi k x} ~\mathrm{d}x + i\int_{0}^{1} f(x) \sin{2\pi k x} ~\mathrm{d}x. \end{aligned} \] 联立式 \(\eqref{eq:fs_fac_tri}\) 给出的 \(a_k\)，\(b_k\) 表达式，得到 \[ \begin{cases} a_k= c_k + c_{-k}, \quad b_k = i(c_k - c_{-k}), & k=1,2,\ldots\,, \\ a_0 = c_0 & k=0. \end{cases} \]
一般的，对于周期为 \(L\) 的函数 \(f(x)\)，其 Fourier 级数的表达式为 \[ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} a_k \cos \frac{2\pi}{L} k x + \sum_{k=1}^{\infty} b_k \sin \frac{2k\pi}{L} x = \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k e^{i \frac{2\pi}{L} k x} \]
同样也可以用三角函数基 \(\{ \cos \frac{2\pi}{L} k x \}\)，\(\{ \sin \frac{2\pi}{L} k x \}\) 和指数函数基 \(\{ e^{i \frac{2\pi}{L} k x} \}\) 的内积得到 Fourier 系数的表达式为 \[ \begin{aligned} a_k &= \frac{2}{L} \int_{0}^{L} f(x) \cos \frac{2\pi}{L} k x ~\mathrm{d}x, \quad k=0,1,2,\ldots\,, \\ b_k &= \frac{2}{L} \int_{0}^{L} f(x) \sin \frac{2\pi}{L} k x ~\mathrm{d}x, \quad k=1,2,\ldots\,, \end{aligned} \] 和 \[ \begin{equation}\label{eq:fs_fac_l} c_k = \frac{1}{L} \int_{0}^{L} f(x) e^{-i \frac{2\pi}{L} k x} ~\mathrm{d}x. \end{equation} \] 使用积分变换同样可以获得上式。以指数函数基为例，对于周期为 \(L\) 的函数 \(f(x)\)，函数 \(F(y) = f(Ly)\) 的周期为 \(1\) ，展开成指数函数表示的 Fourier 级数为 \[ F(y) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k e^{i 2\pi k y}, \] 对应的系数 \(c_k\) 为 \[ c_k = \int_{0}^{1} F(y) e^{-i 2\pi k y} ~\mathrm{d}y = \int_{0}^{1} f(Ly) e^{-i 2\pi k y} ~\mathrm{d}y. \] 作变量替换 \(y=\frac{x}{L}\)，代入后得到 \[ f(x) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k e^{i \frac{2\pi}{L} k x}, \] 对应 Fourier 系数和式 \(\eqref{eq:fs_fac_l}\) 是一致的。
以下给出指数函数基和三角函数基均是正交基的证明。按照式 \(\eqref{eq:df_inner_pro}\) 的定义，指数函数基 \(\{ e^{i \frac{2\pi}{L} kx} \}\) 总是规范正交基： \[ \langle e^{i \frac{2\pi}{L} k x}, e^{i \frac{2\pi}{L} m x} \rangle = \frac{1}{L} \int_{0}^{L} e^{i \frac{2\pi}{L} k x} e^{-i \frac{2\pi}{L} m x} ~\mathrm{d}x =\begin{cases} \frac{L}{i2\pi(k-m)} \left( e^{i \frac{2\pi}{L} (k-m)} -1 \right) \equiv 0, \quad &k \neq m \\ 1, &k = m \end{cases} \] 三角函数基 \(\{ \cos \frac{2\pi}{L} kx \}\)，\(\{ \sin \frac{2\pi}{L} kx \}\)的正交性的证明可以通过如下积化和差公式得到： \[ \begin{aligned} \cos \frac{2\pi}{L} k x\, \cos 2m\pi x &= \frac{1}{2} \Big( \cos \frac{2\pi}{L} (k-m) x + \cos \frac{2\pi}{L} (k+m) x \Big) \\ \sin \frac{2\pi}{L} k x \,\sin 2m\pi x &= \frac{1}{2} \Big( \cos \frac{2\pi}{L} (k-m) x - \cos \frac{2\pi}{L} (k+m) x \Big) \end{aligned} \] 一方面，当 \(k\neq m\) 时，上式右侧积分总等于 0，所以有 \[ \langle \cos{\frac{2\pi}{L} k x}, \cos{\frac{2\pi}{L} m x} \rangle = 0, \quad \langle \sin{\frac{2\pi}{L} k x}, \sin{\frac{2\pi}{L} m x} \rangle = 0, \quad k\neq m. \] 只有当 \(k=m\) 时， \[ \begin{aligned} \langle \cos{\frac{2\pi}{L} k x}, \cos{\frac{2\pi}{L} k x} \rangle = \frac{1}{L} \int_{0}^{L} \cos^2 \frac{2\pi}{L} k x ~\mathrm{d}x = \frac{1}{2}, \quad \langle \sin{\frac{2\pi}{L} k x}, \sin{\frac{2\pi}{L} k x} \rangle = \frac{1}{L} \int_{0}^{L} \sin^2 \frac{2\pi}{L} k x ~\mathrm{d}x = \frac{1}{2}. \end{aligned} \] 另一方面，三角函数基 \(\{ \cos \frac{2\pi}{L} kx \}\)，\(\{ \sin \frac{2\pi}{L} kx \}\)之间总是正交的，这是因为 \[ \sin \frac{2\pi}{L} k x \cos \frac{2\pi}{L} m x = \frac{1}{2} \Big( \sin \frac{2\pi}{L}(k+m)x + \sin \frac{2\pi}{L}(k-m)x \Big), \] 因此，对任意的 \(k\) 和 \(m\)， \[ \langle \sin{\frac{2\pi}{L} k x}, \cos{\frac{2\pi}{L} m x} \rangle = \frac{1}{L} \int_{0}^{L}\sin \frac{2\pi}{L} k x \cos \frac{2\pi}{L} m x ~\mathrm{d}x = 0. \quad \blacksquare \]